Calcule a área do triângulo ABC do exercício 6.
Considere o triângulo ABC de vértices A(-3,-1,4), B(-4,1,0) e C(3,-2,1).

Passo 1

O enunciado pede a área do triângulo ABC cujos vértices em R^3 são
A(-3,-1,4), B(-4,1,0), C(3,-2,1)
Para isso vamos usar álgebra vetorial: calcular dois vetores que saem de A, depois o produto vetorial entre eles e, por fim, o módulo desse produto vetorial. A área do triângulo é metade desse módulo.

Passo 2

Calcular os vetores
AB=B-A=(-4-(-3),,1-(-1),,0-4)=(-1,,2,,-4),
AC=C-A=(3-(-3),,-2-(-1),,1-4)=(6,,-1,,-3)

Passo 3

O produto vetorial ABtimesAC é dado pelo determinante
ABtimesAC = i & j & k -1 & 2 & -4 6 & -1 & -3 =l(2cdot(-3)-(-4)cdot(-1),,-l(-1cdot(-3)-(-4)cdot6r),,-1cdot(-1)-2cdot6r)
Isso resulta em
ABtimesAC=(-6-4,,-(3+24),,1-12)=(-10,,-27,,-11)

Passo 4

O módulo desse vetor é
l|ABtimesACr| =raiz(-10)^2+(-27)^2+(-11)^2 =raiz100+729+121 =raiz950 =5raiz38

Passo 5

A área do triângulo é metade do módulo do produto vetorial:
Área=12l|ABtimesACr| =12cdot5raiz38 =5raiz382 Á

Resposta

A área do triângulo ABC é 5raiz382.

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