Q16: Seja S=v1, v2, v3 um conjunto de 3 vetores distintos de R^3. Sejam A=v1, v2, B=v1, v3, C=v2, v3. Considere as afirmativas abaixo:
I - Se S é LD, então A é LD ou B é LD ou C é LD.
II - Se v1, v2, v3 não são colineares, então S é uma base de R^3. III - Se A e B são LIs, então C é LI.
(A) Apenas III é verdadeira.
(B) Apenas II e III são verdadeiras.
(C) Apenas I e III são verdadeiras.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Apenas I é verdadeira.
(F) Apenas II é verdadeira.
(G) Todas são falsas.
(H) Apenas I e II são verdadeiras.
(I) Não sei

Passo 1

O enunciado dá três vetores vec v1,vec v2,vec v3inR^3 e define
A=vec v1,vec v2, B=vec v1,vec v3, C=vec v2,vec v3
Precisamos analisar as afirmações sobre dependência linear (LD), independência linear (LI), colinearidade e base de R^3.

Passo 2

Testando I – “Se S é LD, então A ou B ou C é LD.”
Contrexemplo: tome vec v3=vec v1+vec v2. Então
vec v1,vec v2 são LI (logo (A) é LI), vec v1,vec v3 são LI (logo (B) é LI), vec v2,vec v3 são LI (logo (C) é LI), ãéãéãé
mas S é LD pois vec v3-vec v1-vec v2=0. Logo I é falsa.

Passo 3

Testando II – “Se vec v1,vec v2,vec v3 não são colineares, então S é base de R^3.”
“Não colineares” só garante que não estão na mesma reta, mas podem estar num mesmo plano, o que torna S LD e não base. Portanto II é falsa.

Passo 4

Testando III – “Se A e B são LIs, então C é LI.”
Suponha vec v1,vec v2 e vec v1,vec v3 LI, mas escolha vec v3=2,vec v2. Então A e B são LI, porém C=vec v2,2vec v2 é LD. Logo III é falsa.

Resposta

Todas são falsas. Alternativa (G).

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