Exercício 4-2: Para o escoamento turbulento de um fluido em um tubo liso, a expressão abaixo pode ser usada para determinar o fator de atrito, f, em função do número de Reynolds, Re raizf=f[1.74 ln (Re raizf)-0.4]
Calcule o fator de atrito para R e=5000, usando o método de Newton-Raphson, com seis algarismos significativos corretos. Uma boa estimativa inicial para o fator de atrito é f0= 0.037558;

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um fluido escoando turbulentemente em um tubo liso e precisamos calcular o fator de atrito, f , usando o número de Reynolds, Re = 5000 . Para isso, vamos aplicar o método de Newton-Raphson, que é uma técnica matemática para encontrar raízes de equações. A equação que vamos resolver é:
raizf = f [1.74 ln (Re raizf) - 0.4]
Vamos precisar usar álgebra básica, logaritmos e derivadas para aplicar o método de Newton-Raphson de forma correta.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a aplicação do método de Newton-Raphson. Vamos definir uma função g(f) tal que:
g(f) = raizf - f [1.74 ln (5000 raizf) - 0.4] = 0
Nosso objetivo é encontrar o valor de f que faz g(f) = 0 .

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada da função g(f) em relação a f , que será usada no método de Newton-Raphson. Vamos derivar cada termo de g(f) :
g(f) = raizf - 1.74 f ln(5000 raizf) + 0.4 f
A derivada g'(f) é:
g'(f) = 12raizf - 1.74 ln(5000 raizf) - 0.47
Explicando cada parte:
  • 12raizf vem da derivada de raizf .
  • -1.74 ln(5000 raizf) é a derivada do termo com o logaritmo.
  • -0.47 é a combinação constante resultante das constantes derivadas.

Passo 4

Vamos iniciar o método de Newton-Raphson com a estimativa inicial fornecida: f0 = 0.037558 .
A fórmula do método é:
fn+1 = fn - g(fn)g'(fn)
Vamos calcular g(f0) e g'(f0) :
  1. Cálculo de g(f0) :
raiz0.037558 approx 0.194
ln(5000 times 0.194) = ln(970) approx 6.879
g(f0) = 0.194 - 0.037558 times (1.74 times 6.879 - 0.4) approx 0.194 - 0.037558 times 11.58 approx -0.2417
  1. Cálculo de g'(f0) :
g'(0.037558) = 12 times 0.194 - 1.74 times 6.879 - 0.47 approx 2.577 - 11.98 - 0.47 approx -9.873
  1. Atualização de f :
f1 = 0.037558 - -0.2417-9.873 approx 0.037558 - 0.02447 approx 0.01309

Passo 5

Continuando com f1 = 0.01309 :
  1. Cálculo de g(f1) :
raiz0.01309 approx 0.1143
ln(5000 times 0.1143) = ln(571.5) approx 6.345
g(f1) = 0.1143 - 0.01309 times (1.74 times 6.345 - 0.4) approx 0.1143 - 0.01309 times 10.64 approx -0.0250
  1. Cálculo de g'(f1) :
g'(0.01309) = 12 times 0.1143 - 1.74 times 6.345 - 0.47 approx 4.368 - 11.041 - 0.47 approx -7.143
  1. Atualização de f :
f2 = 0.01309 - -0.0250-7.143 approx 0.01309 - 0.0035 approx 0.0096

Passo 6

Agora, com f2 = 0.0096 :
  1. Cálculo de g(f2) :
raiz0.0096 approx 0.09798
ln(5000 times 0.09798) = ln(489.9) approx 6.19
g(f2) = 0.09798 - 0.0096 times (1.74 times 6.19 - 0.4) approx 0.09798 - 0.0096 times 10.36 approx -0.0019
  1. Cálculo de g'(f2) :
g'(0.0096) = 12 times 0.09798 - 1.74 times 6.19 - 0.47 approx 5.111 - 10.727 - 0.47 approx -6.119
  1. Atualização de f :
f3 = 0.0096 - -0.0019-6.119 approx 0.0096 - 0.00031 approx 0.00929

Passo 7

Com f3 = 0.00929 :
  1. Cálculo de g(f3) :
raiz0.00929 approx 0.09635
ln(5000 times 0.09635) = ln(481.75) approx 6.176
g(f3) = 0.09635 - 0.00929 times (1.74 times 6.176 - 0.4) approx 0.09635 - 0.00929 times 10.33 approx 0.00045
  1. Cálculo de g'(f3) :
g'(0.00929) = 12 times 0.09635 - 1.74 times 6.176 - 0.47 approx 5.183 - 10.727 - 0.47 approx -6.014
  1. Atualização de f :
f4 = 0.00929 - 0.00045-6.014 approx 0.00929 + 0.000075 approx 0.009365

Resposta

Após aplicar o método de Newton-Raphson, o fator de atrito calculado para Re = 5000 é:
f approx 0.009365

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