Exercício 4-2: Para o escoamento turbulento de um fluido em um tubo liso, a expressão abaixo pode ser usada para determinar o fator de atrito,
, em função do número de Reynolds,
Calcule o fator de atrito para
, usando o método de Newton-Raphson, com seis algarismos significativos corretos. Uma boa estimativa inicial para o fator de atrito é
0.037558;
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um fluido escoando turbulentemente em um tubo liso e precisamos calcular o fator de atrito,
, usando o número de Reynolds,
. Para isso, vamos aplicar o método de Newton-Raphson, que é uma técnica matemática para encontrar raízes de equações. A equação que vamos resolver é:
Vamos precisar usar álgebra básica, logaritmos e derivadas para aplicar o método de Newton-Raphson de forma correta.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a aplicação do método de Newton-Raphson. Vamos definir uma função
tal que:
Nosso objetivo é encontrar o valor de
que faz
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular a derivada da função
em relação a
, que será usada no método de Newton-Raphson. Vamos derivar cada termo de
:
A derivada
é:
Explicando cada parte:
-
vem da derivada de . -
é a derivada do termo com o logaritmo. -
é a combinação constante resultante das constantes derivadas.
Passo 4
Vamos iniciar o método de Newton-Raphson com a estimativa inicial fornecida:
.
A fórmula do método é:
Vamos calcular
e
:
- Cálculo de
:
- Cálculo de
:
- Atualização de
:
Passo 5
Continuando com
:
- Cálculo de
:
- Cálculo de
:
- Atualização de
:
Passo 6
Agora, com
:
- Cálculo de
:
- Cálculo de
:
- Atualização de
:
Passo 7
Com
:
- Cálculo de
:
- Cálculo de
:
- Atualização de
:
Resposta
Após aplicar o método de Newton-Raphson, o fator de atrito calculado para
é: