Calcule a área do triângulo com vértices
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área de um triângulo que está no espaço, ou seja, em três dimensões. Os vértices desse triângulo são os pontos $ A=(1,1,2) $, $ B=(2,-1,0) $ e $ C=(1,-1,3) $. Para isso, vamos usar vetores e o produto vetorial, que nos ajudam a encontrar áreas de figuras no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos criar dois vetores que representem os lados do triângulo. Podemos usar os pontos dados para formar os vetores
e
.
O vetor
é encontrado subtraindo as coordenadas de $ A $ das de $ B $:
O vetor
é encontrado subtraindo as coordenadas de $ A $ das de $ C $:
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores,
. O produto vetorial nos dá um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais, e a magnitude desse vetor é igual à área do paralelogramo formado por
e
.
O produto vetorial é calculado assim:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a magnitude desse vetor resultante, que nos dará a área do paralelogramo:
Passo 5
Como a área do triângulo é metade da área do paralelogramo formado pelos vetores, basta dividir a magnitude que encontramos por 2:
Resposta
A área do triângulo é aproximadamente $ 3,201 $ unidades quadradas.