Calcule a área do triângulo com vértices
A=(1,1,2), B=(2,-1,0) e C=(1,-1,3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área de um triângulo que está no espaço, ou seja, em três dimensões. Os vértices desse triângulo são os pontos $ A=(1,1,2) $, $ B=(2,-1,0) $ e $ C=(1,-1,3) $. Para isso, vamos usar vetores e o produto vetorial, que nos ajudam a encontrar áreas de figuras no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos criar dois vetores que representem os lados do triângulo. Podemos usar os pontos dados para formar os vetores AB e AC.
O vetor AB é encontrado subtraindo as coordenadas de $ A $ das de $ B $:
A
O vetor B é encontrado subtraindo as coordenadas de $ A $ das de $ C $:
AB = B - A = (2-1, -1-1, 0-2) = (1, -2, -2)

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores, AB times AC. O produto vetorial nos dá um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais, e a magnitude desse vetor é igual à área do paralelogramo formado por AB e AC.
O produto vetorial é calculado assim:
AB times AC = i & j & k 1 & -2 & -2 0 & -2 & 1
= i cdot ((-2)(1) - (-2)(-2)) - j cdot ((1)(1) - (-2)(0)) + k cdot ((1)(-2) - (-2)(0))
= i cdot (-2 - 4) - j cdot (1 - 0) + k cdot (-2 - 0)
= -6i - 1j -2k
= (-6, -1, -2)

Passo 4

Agora, vamos encontrar a magnitude desse vetor resultante, que nos dará a área do paralelogramo:
| AB times AC | = raiz(-6)^2 + (-1)^2 + (-2)^2 = raiz36 + 1 + 4 = raiz41

Passo 5

Como a área do triângulo é metade da área do paralelogramo formado pelos vetores, basta dividir a magnitude que encontramos por 2:
Área do triângulo = 12 times raiz41 approx 12 times 6,403 = 3,201 unidades quadradas Áâ

Resposta

A área do triângulo é aproximadamente $ 3,201 $ unidades quadradas.

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