Seja theta o ângulo entre u e v.Mostre que
|u wed>= v|=|u||v| sen theta
Sugestão. Calcule |u wed>= v|^2 usando a definição de produto vetorial e realcione com produto interno dado geometricamente
lang<= u, vrang<==|u||v| cos theta

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o módulo do produto vetorial de dois vetores é dado por \ |uwed>= v|=|u||v|sintheta, onde theta é o ângulo entre eles. Vamos precisar da definição de módulo ao quadrado do produto vetorial e da expressão geométrica do produto interno \ lang<= u,vrang<==|u||v|costheta.

Passo 2

Começamos escrevendo o quadrado do módulo do produto vetorial como produto interno: \ |uwed>= v|^2=lang<= uwed>= v,,uwed>= vrang<=

Passo 3

Usamos a identidade de Lagrange para produto vetorial em R^3: \ (atimes b)cdot(ctimes d)=(acdot c)(bcdot d)-(acdot d)(bcdot c) Escolhendo a=c=u e b=d=v, vem \ |uwed>= v|^2=(utimes v)cdot(utimes v)=(ucdot u)(vcdot v)-(ucdot v)^2

Passo 4

Substituímos agora cada produto interno pela sua forma geométrica: \ ucdot u=|u|^2, \ vcdot v=|v|^2 e \ ucdot v=|u||v|costheta. Assim, \ |uwed>= v|^2=|u|^2|v|^2-(|u||v|costheta)^2=|u|^2|v|^2l(1-cos^2thetar)

Passo 5

Como 1-cos^2theta=sin^2theta e para thetain[0,pi] temos sintheta>=0, basta extrair raiz para concluir: \ |uwed>= v|=|u||v|sintheta

Resposta

|uwed>= v|=|u||v|sintheta

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