a) Sejam
u & =(x1, y1, z1), v=(x2, y2, z2) e w & =(x3, y3, z3)
vetores não coplanares, isto é, não paralelos a um mesmo plano. Verifique que
lang<= u wed>= v, wrang<==det(lll x1 & y1 & z1 x2 & y2 & z2 x3 & y3 & z3 )
b) Mostre que o volume V do paralelepípedo determinado pelos vetores u, v e w é dado por
V=|lang<= u wed>= v, wrang<=|
Sugestão. Seja varphi o ângulo entre u wed>= v e w. Considere a altura do paralelepípedo relativa ao vertice C onde w=O C.
c) Conclua que
V=|det(lll x1 & y1 & z1 x2 & y2 & z2 x3 & y3 & z3 )|
d) Determine o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores não coplanares A B, A C, A D onde
A=(1,1,2), B=(2,0,2), C=(3,1,3), D=(2,2,-3)

Passo 1

Nesse exercício a gente tem três vetores não coplanares em R^3: u=(x1,y1,z1), v=(x2,y2,z2) e w=(x3,y3,z3). A parte (a) pede mostrar que o produto escalar entre uwed>= v e w é o determinante da matriz cujas linhas são as componentes de u,v,w. Em (b) e © relacionamos esse produto triplo ao volume do paralelepípedo e expressamos em termos de determinante. Por fim, em (d) calculamos numericamente o volume para pontos A,B,C,D. Para tudo isso vamos usar definição de produto vetorial, produto escalar e interpretação geométrica de volume.

Passo 2

Definimos o produto vetorial por determinante formal. Em bloco:
uwed>= v=i&j&kx1&y1&z1x2&y2&z2
e, desenvolvendo, obtemos as componentes:
uwed>= v=(y1z2-z1y2,;z1x2-x1z2,;x1y2-y1x2)

Passo 3

Agora fazemos o produto escalar com w=(x3,y3,z3) e reconhecemos o determinante:
lang<= uwed>= v,wrang<==(y1z2-z1y2)x3+(z1x2-x1z2)y3+(x1y2-y1x2)z3,
que é exatamente
detx1&y1&z1x2&y2&z2x3&y3&z3

Passo 4

Geometricamente, a área da base do paralelepípedo gerado por u,v é |uwed>= v| e a altura relativa a w é a projeção de w na direção de uwed>= v, ou seja |w|cosvarphi. Logo
V=basetimesa= v|cdot|w|cosvarphi=|lang<= uwed>= v,wrang<=|

Passo 5

Juntando (a) e (b) vemos que
V=|detx1&y1&z1x2&y2&z2x3&y3&z3|,

Passo 6

para (d) calculamos primeiro
(\overrightarrow{AB}=B-A=(1,-1,0),\quad\overrightarrow{AC}=(2,0,1),\quad\overrightarrow{AD}=(1,1,-5).]

Passo 7

Montamos a matriz com essas linhas e calculamos o determinante:
det1&-1&02&0&11&1&-5=1cdot(-5cdot0-1cdot1)-(-1)cdot(2cdot(-5)-1cdot1)+0= -1 -11 = -12

Passo 8

Portanto o volume é o valor absoluto desse determinante.

Resposta

Para ©
$$V=\left|\det V=|detx1&y1&z1x2&y2&z2x3&y3&z3| \right|.
V=12V=12.$$

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