a) Sejam
vetores não coplanares, isto é, não paralelos a um mesmo plano. Verifique que
b) Mostre que o volume
V do paralelepípedo determinado pelos vetores
u, v e
w é dado por
V=|lang<= u wed>= v, wrang<=|
Sugestão. Seja
varphi o ângulo entre
u wed>= v e
w . Considere a altura do paralelepípedo relativa ao vertice
C onde
w=O C .
c) Conclua que
V=|det(lll x1 & y1 & z1 x2 & y2 & z2 x3 & y3 & z3 )|
d) Determine o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores não coplanares
A B, A C, A D onde
A=(1,1,2), B=(2,0,2), C=(3,1,3), D=(2,2,-3)
c) Conclua que
Passo 1
Nesse exercício a gente tem três vetores não coplanares em
R^3 :
u=(x1,y1,z1) ,
v=(x2,y2,z2) e
w=(x3,y3,z3) . A parte (a) pede mostrar que o produto escalar entre
uwed>= v e
w é o determinante da matriz cujas linhas são as componentes de
u,v,w . Em (b) e © relacionamos esse produto triplo ao volume do paralelepípedo e expressamos em termos de determinante. Por fim, em (d) calculamos numericamente o volume para pontos
A,B,C,D . Para tudo isso vamos usar definição de produto vetorial, produto escalar e interpretação geométrica de volume.
Passo 2
Definimos o produto vetorial por determinante formal. Em bloco:
e, desenvolvendo, obtemos as componentes:
Passo 3
Agora fazemos o produto escalar com
w=(x3,y3,z3) e reconhecemos o determinante:
que é exatamente
Passo 4
Geometricamente, a área da base do paralelepípedo gerado por
u,v é
|uwed>= v| e a altura relativa a
w é a projeção de
w na direção de
uwed>= v , ou seja
|w|cosvarphi . Logo
Passo 5
Juntando (a) e (b) vemos que
Passo 6
para (d) calculamos primeiro
(\overrightarrow{AB}=B-A=(1,-1,0),\quad\overrightarrow{AC}=(2,0,1),\quad\overrightarrow{AD}=(1,1,-5).]
(\overrightarrow{AB}=B-A=(1,-1,0),\quad\overrightarrow{AC}=(2,0,1),\quad\overrightarrow{AD}=(1,1,-5).]
Passo 7
Montamos a matriz com essas linhas e calculamos o determinante:
Passo 8
Portanto o volume é o valor absoluto desse determinante.
Resposta
Para ©
$$V=\left|\det
V=|detx1&y1&z1x2&y2&z2x3&y3&z3| \right|.