Seja C o segmento de extremidades A=(1,2,3) e B=(4,5,6).
Calcule integralC(x+y+z) d s.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha de uma função escalar f(x,y,z)=x+y+z ao longo do segmento C que une A=(1,2,3) a B=(4,5,6). O conteúdo envolvido é integral de linha com diferencial de comprimento de arco ds, então vamos precisar parametrizar C e usar ds=|r′(t)|dt.

Passo 2

Vamos parametrizar o segmento C por
r(t)=(1,2,3)+tl((4,5,6)-(1,2,3)r)=(1+3t,,2+3t,,3+3t), 0<= t<=1
Derivando,
r'(t)=(3,3,3), |r'(t)|=3raiz3
Substituímos na função f(x,y,z)=x+y+z para obter f(r(t)):
f(r(t))=(1+3t)+(2+3t)+(3+3t)=6+9t
Assim a integral se torna
integralC(x+y+z),ds=integral0^1 f(r(t)),|r'(t)|,dt=integral0^1(6+9t),(3raiz3),dt

Passo 3

Agora calculamos a integral em t:
integral0^1(6+9t),dt=l[6t+tfrac92t^2r]0^1=6+tfrac92=tfrac212
Multiplicando por 3√3,
3raiz3timestfrac212=tfrac63raiz32

Passo 4

Portanto, o valor da integral de linha é o resultado acima.

Resposta

63raiz32

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