Mostre que as aplicações são transformações lineares.
\begin{array}{lclc}T: & R^{2} & \longrightarrow & R^{2} \\& (x, y) & \longmapsto & (x+y, x-y)\end{array}
\begin{array}{lclc}T: & R^{3} & \longrightarrow & R^{2} \\& (x, y, z) & \longmapsto & (x-y+z, 2 x+y-3 z)\end{array}

Passo 1

O enunciado dá duas aplicações e pede que mostremos que cada uma é transformação linear. As aplicações dadas são:
A primeira aplicação:
T:\mathbb{R}^{2}\longrightarrow\mathbb{R}^{2},\qquad (x,y)\longmapsto (x+y,\;x-y).
A segunda aplicação:
T:\mathbb{R}^{3}\longrightarrow\mathbb{R}^{2},\qquad (x,y,z)\longmapsto (x-y+z,\;2x+y-3z).
Perguntas que o enunciado faz:
  1. Mostrar que a primeira aplicação é uma transformação linear.
  2. Mostrar que a segunda aplicação é uma transformação linear.
Informações relevantes dadas: as fórmulas explícitas das imagens de vetores em cada aplicação (como escritas acima). Não há mais informações escondidas.

Passo 2

O que significa “mostrar que é transformação linear” (aula rápida e prática): uma aplicação T entre espaços vetoriais é linear se satisfaz duas propriedades para todos vetores u,v do domínio e todo escalar c:
  1. Aditividade:
T(u+v)=T(u)+T(v).
  1. Homogeneidade (multiplicação por escalar):
T(c\,u)=c\,T(u).
Aqui u+v é a soma de vetores no domínio e c\,u é a multiplicação de um vetor por um escalar. Vou verificar essas duas propriedades de forma algébrica para cada aplicação, mostrando passo a passo como manipular as coordenadas.

Passo 3

Verificação para a primeira aplicação — aditividade.
Sejam vetores genéricos
u=(x_1,y_1),\qquad v=(x_2,y_2)\in\mathbb{R}^2.
A soma é
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2).
Aplicando T à soma, usando a fórmula dada:
T(u+v)=T(x_1+x_2,\;y_1+y_2)=( (x_1+x_2)+(y_1+y_2),\; (x_1+x_2)-(y_1+y_2) ).
Agora expandimos e reagrupamos:
T(u+v)=\bigl( (x_1+y_1)+(x_2+y_2),\; (x_1-y_1)+(x_2-y_2)\bigr).
Note que isto é exatamente
\bigl(x_1+y_1,\;x_1-y_1\bigr)+\bigl(x_2+y_2,\;x_2-y_2\bigr)=T(u)+T(v).
Portanto a aditividade vale:
T(u+v)=T(u)+T(v).

Passo 4

Verificação para a primeira aplicação — homogeneidade.
Seja um escalar c\in\mathbb{R} e um vetor genérico u=(x,y)\in\mathbb{R}^2. Primeiro calcule c\,u:
c\,u=(c x,\; c y).
Agora aplique T:
T(cu)=T(c x,\;c y)=\bigl(c x + c y,\; c x - c y\bigr).
Fatorando c em cada coordenada:
T(cu)=\bigl(c(x+y),\;c(x-y)\bigr)=c\bigl(x+y,\;x-y\bigr)=c\,T(u).
Portanto a homogeneidade também vale:
T(cu)=c\,T(u).

Passo 5

Conclusão para a primeira aplicação.
Como verificamos explicitamente as duas propriedades para quaisquer vetores u,v e qualquer escalar c, a primeira aplicação é uma transformação linear.
Como observação útil (ficar esperto para a prova): podemos também escrever T como multiplicação por matriz. A matriz associada, na base canônica, é
A=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix},
pois A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x+y\x-y\end{pmatrix}=T(x,y). Multiplicação por matriz preserva soma e multiplicação por escalar, então outra maneira curta é dizer "é linear porque é dada por matriz A".]

Passo 6

Verificação para a segunda aplicação — aditividade.
Sejam vetores genéricos
u=(x_1,y_1,z_1),\qquad v=(x_2,y_2,z_2)\in\mathbb{R}^3.
A soma é
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2).
Aplicando T à soma, usando a fórmula dada:
T(u+v)=T(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2).
Pela definição da aplicação:
T(u+v)=\bigl((x_1+x_2)-(y_1+y_2)+(z_1+z_2),\;2(x_1+x_2)+(y_1+y_2)-3(z_1+z_2)\bigr).
Agora expandimos e reagrupamos coordenada a coordenada:
T(u+v)=\bigl((x_1-y_1+z_1)+(x_2-y_2+z_2),\;(2x_1+y_1-3z_1)+(2x_2+y_2-3z_2)\bigr).
Isto é exatamente
T(u)+T(v).
Logo a aditividade vale:
T(u+v)=T(u)+T(v).

Passo 7

Verificação para a segunda aplicação — homogeneidade.
Seja c\in\mathbb{R} e u=(x,y,z)\in\mathbb{R}^3. Primeiro calcule c\,u:
c\,u=(c x,\;c y,\;c z).
Aplicando T:
T(cu)=T(c x,\;c y,\;c z)=\bigl(c x - c y + c z,\; 2c x + c y - 3c z\bigr).
Fatorando c em ambas as coordenadas:
T(cu)=\bigl(c(x-y+z),\;c(2x+y-3z)\bigr)=c\bigl(x-y+z,\;2x+y-3z\bigr)=c\,T(u).
Portanto a homogeneidade vale:
T(cu)=c\,T(u).

Passo 8

Conclusão para a segunda aplicação.
Como as duas propriedades foram verificadas para quaisquer vetores u,v e qualquer escalar c, a segunda aplicação é também uma transformação linear.
Como observação prática (útil na prova): a matriz associada, na base canônica, é
B=\begin{pmatrix}1 & -1 & 1\\[4pt]2 & 1 & -3\end{pmatrix},
pois
B\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1&1\\\ 2&1&-3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x-y+z\\\ 2x+y-3z\end{pmatrix}=T(x,y,z).
Multiplicação por matriz também confirma linearidade.]

Resposta

A primeira aplicação é transformação linear; matriz associada \displaystyle \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}.
A segunda aplicação é transformação linear; matriz associada \displaystyle \begin{pmatrix}1 & -1 & 1\\[4pt]2 & 1 & -3\end{pmatrix}.]

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