Mostre que as aplicações são transformações lineares.
Passo 1
O enunciado dá duas aplicações e pede que mostremos que cada uma é transformação linear. As aplicações dadas são:
A primeira aplicação:
A segunda aplicação:
Perguntas que o enunciado faz:
- Mostrar que a primeira aplicação é uma transformação linear.
- Mostrar que a segunda aplicação é uma transformação linear.
Informações relevantes dadas: as fórmulas explícitas das imagens de vetores em cada aplicação (como escritas acima). Não há mais informações escondidas.
Passo 2
O que significa “mostrar que é transformação linear” (aula rápida e prática): uma aplicação
entre espaços vetoriais é linear se satisfaz duas propriedades para todos vetores
do domínio e todo escalar
:
- Aditividade:
- Homogeneidade (multiplicação por escalar):
Aqui
é a soma de vetores no domínio e
é a multiplicação de um vetor por um escalar. Vou verificar essas duas propriedades de forma algébrica para cada aplicação, mostrando passo a passo como manipular as coordenadas.
Passo 3
Verificação para a primeira aplicação — aditividade.
Sejam vetores genéricos
A soma é
Aplicando
à soma, usando a fórmula dada:
Agora expandimos e reagrupamos:
Note que isto é exatamente
Portanto a aditividade vale:
Passo 4
Verificação para a primeira aplicação — homogeneidade.
Seja um escalar
e um vetor genérico
. Primeiro calcule
:
Agora aplique
:
Fatorando
em cada coordenada:
Portanto a homogeneidade também vale:
Passo 5
Conclusão para a primeira aplicação.
Como verificamos explicitamente as duas propriedades para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, a primeira aplicação é uma transformação linear.
Como observação útil (ficar esperto para a prova): podemos também escrever
como multiplicação por matriz. A matriz associada, na base canônica, é
pois
. Multiplicação por matriz preserva soma e multiplicação por escalar, então outra maneira curta é dizer "é linear porque é dada por matriz
".]
Passo 6
Verificação para a segunda aplicação — aditividade.
Sejam vetores genéricos
A soma é
Aplicando
à soma, usando a fórmula dada:
Pela definição da aplicação:
Agora expandimos e reagrupamos coordenada a coordenada:
Isto é exatamente
Logo a aditividade vale:
Passo 7
Verificação para a segunda aplicação — homogeneidade.
Seja
e
. Primeiro calcule
:
Aplicando
:
Fatorando
em ambas as coordenadas:
Portanto a homogeneidade vale:
Passo 8
Conclusão para a segunda aplicação.
Como as duas propriedades foram verificadas para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, a segunda aplicação é também uma transformação linear.
Como observação prática (útil na prova): a matriz associada, na base canônica, é
pois
Multiplicação por matriz também confirma linearidade.]
Resposta
A primeira aplicação é transformação linear; matriz associada
A segunda aplicação é transformação linear; matriz associada
]