Calcule as áreas entre as curvas:
© Calcule a área da região delimitada pelas curvas
e
;
© Calcule a área da região delimitada pelas curvas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a área da região delimitada pelas curvas
e
. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente sobre como encontrar a área entre duas curvas. Para isso, vamos precisar descobrir onde essas curvas se interceptam e depois calcular a integral da diferença entre elas nesses intervalos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se cruzam. Isso significa resolver a equação
.
Assim, as soluções são
,
e
. Então, as curvas se interceptam nos pontos
,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos identificar qual das duas funções está acima da outra em cada intervalo determinado pelos pontos de interseção.
-
Entre
e : Vamos escolher um valor de teste, por exemplo,: Aqui,está abaixo de . -
Entre
e : Escolhendo: Neste intervalo,está acima de .
Passo 4
Para encontrar a área entre as curvas, vamos calcular a integral da diferença entre as funções nos intervalos onde elas estão uma acima da outra. A fórmula para a área
é:
Onde
é a função que está acima e
a que está abaixo no intervalo
.
Aplicando isso aos nossos intervalos:
-
Entre
e : e -
Entre
e : e
Passo 5
Vamos calcular cada uma das integrais:
-
Calculando
: -
Calculando
: -
Somando as duas áreas:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas
e
é
unidades de área.