Calcule as áreas entre as curvas:
© Calcule a área da região delimitada pelas curvas y = x^3 e y = x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a área da região delimitada pelas curvas e . Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente sobre como encontrar a área entre duas curvas. Para isso, vamos precisar descobrir onde essas curvas se interceptam e depois calcular a integral da diferença entre elas nesses intervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se cruzam. Isso significa resolver a equação .
Assim, as soluções são , e . Então, as curvas se interceptam nos pontos , e .

Passo 3

Agora, precisamos identificar qual das duas funções está acima da outra em cada intervalo determinado pelos pontos de interseção.
  • Entre e :
    Vamos escolher um valor de teste, por exemplo, :
    Aqui, está abaixo de .
  • Entre e :
    Escolhendo :
    Neste intervalo, está acima de .

Passo 4

Para encontrar a área entre as curvas, vamos calcular a integral da diferença entre as funções nos intervalos onde elas estão uma acima da outra. A fórmula para a área é:
Onde é a função que está acima e a que está abaixo no intervalo .
Aplicando isso aos nossos intervalos:
  • Entre e :
    e
  • Entre e :
    e

Passo 5

Vamos calcular cada uma das integrais:
  • Calculando :
  • Calculando :
  • Somando as duas áreas:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas e é unidades de área.

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