Calcule as integrais por substituição:
(f)
integral 1raiz2 x+3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de em relação a . Isso entra no conteúdo de Cálculo Integral, especificamente utilizando o método de substituição. Vamos precisar identificar uma parte da expressão que podemos substituir para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que facilite a resolução. Olhando para a expressão u = 2x + 3 , percebemos que o que está dentro da raiz é uma função linear. Vamos chamar essa parte de :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 2 Rightarrow du = 2,dx Rightarrow dx = du2 em relação a para substituir . Derivando ambos os lados:

Passo 4

Vamos substituir integral 1raiz2x + 3,dx = integral 1raizu cdot du2 = 12 integral u^-1/2,du e 12 cdot ( u^1/21/2 ) = 12 cdot 2u^1/2 = u^1/2 na integral original:
Agora, integramos :

Passo 5

Finalmente, substituímos u^1/2 = raiz2x + 3 de volta para expressar a resposta em termos de :

Resposta

A integral de raiz2x + 3 + C em relação a é:

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