Calcule as áreas delimitadas pelas curvas:
x=y^{3} e x=y^{2}.

Passo 1

O enunciado pede a área delimitada pelas curvas \,x=y^{3} e \,x=y^{2}. Trata-se de uma região no plano xy cujas fronteiras são dadas por duas funções x=f_{1}(y) e x=f_{2}(y). Para encontrar essa área, vamos:
  1. determinar os pontos de interseção em y,
  2. ver qual curva está à direita e qual está à esquerda entre esses pontos,
  3. montar a integral \displaystyle A=\int (x_{\rm direita}-x_{\rm esquerda})\,dy,
  4. calcular essa integral.

Passo 2

Encontramos as interseções resolvendo
y^{3}=y^{2}
y^{2}(y-1)=0
Logo, y=0 ou y=1.

Passo 3

No intervalo 0\le y\le1, comparamos y^{2} e y^{3}. Como
y^{3}-y^{2}=y^{2}(y-1)\le0,
temos y^{3}\le y^{2}. Portanto, para cada y\in[0,1] a curva x=y^{2} está à direita e x=y^{3} está à esquerda.

Passo 4

A área A é dada por
A=\int_{y=0}^{1}\bigl(y^{2}-y^{3}\bigr)\,dy.

Passo 5

Calculamos a integral:
\int_{0}^{1}\bigl(y^{2}-y^{3}\bigr)\,dy =\left[\frac{y^{3}}{3}-\frac{y^{4}}{4}\right]_{0}^{1} =\frac{1}{3}-\frac{1}{4} =\frac{1}{12}.

Resposta

A área delimitada pelas curvas x=y^{3} e x=y^{2} é \displaystyle \frac{1}{12}.

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