Calcule as seguintes integrais:
\int t^{2018} \cdot \ln t d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int t^{2018}\,\ln t\,dt.
O conteúdo principal aqui é integração por partes, pois temos um produto entre t^{2018} e \ln t. Vamos usar a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos
u = \ln t, \quad dv = t^{2018}\,dt.
Então
du = \frac{1}{t}\,dt, \quad v = \int t^{2018}\,dt = \frac{t^{2019}}{2019}.

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int t^{2018}\,\ln t\,dt = u\,v - \int v\,du = \ln t \;\frac{t^{2019}}{2019} - \int \frac{t^{2019}}{2019}\;\frac{1}{t}\,dt.

Passo 4

No segundo termo temos
\int \frac{t^{2019}}{2019}\;\frac{1}{t}\,dt = \frac{1}{2019}\int t^{2018}\,dt = \frac{1}{2019}\;\frac{t^{2019}}{2019} = \frac{t^{2019}}{2019^2}.

Passo 5

Substituindo de volta e simplificando, obtemos
\int t^{2018}\,\ln t\,dt = \frac{t^{2019}\,\ln t}{2019} - \frac{t^{2019}}{2019^2} + C = \frac{t^{2019}}{2019^2}\Bigl(2019\,\ln t - 1\Bigr) + C.

Resposta

\boxed{\int t^{2018}\,\ln t\,dt = \frac{t^{2019}\,\ln t}{2019} - \frac{t^{2019}}{2019^2} + C.}

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