Calcule as seguintes integrais:
\int \frac{x}{\operatorname{sen} x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int \frac{x}{\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr)}\,dx.
Vamos usar método de substituição para transformar essa integral numa forma conhecida envolvendo \int \csc(u)\,du.

Passo 2

Fazendo a troca
u = x^{2}, \quad du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2},
substituímos na integral original e obtemos
\int \frac{x}{\operatorname{sen}(x^{2})}\,dx = \frac12 \int \frac{1}{\operatorname{sen}(u)}\,du = \frac12 \int \csc(u)\,du.

Passo 3

Sabemos que uma antiderivada de \csc(u) é
\int \csc(u)\,du = \ln\bigl|\tan(\tfrac{u}{2})\bigr| + C.
Portanto,
\frac12 \int \csc(u)\,du = \frac12 \ln\bigl|\tan(\tfrac{u}{2})\bigr| + C.

Passo 4

Voltando à variável x (isto é, u = x^{2}), concluímos
\int \frac{x}{\operatorname{sen}(x^{2})}\,dx = \frac12 \ln\bigl|\tan\bigl(\tfrac{x^{2}}{2}\bigr)\bigr| + C.

Resposta

\frac12 \ln\bigl|\tan\bigl(\tfrac{x^{2}}{2}\bigr)\bigr| + C.

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