Calcule as áreas pedidas.
A área da região dos pontos (x, y) tais que x^2-1 <= y <= x+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a área da região formada pelos pontos que satisfazem a inequação . Isso pertence ao conteúdo de Cálculo, mais especificamente à área entre curvas. Para resolver isso, vamos precisar identificar onde as duas curvas se encontram e depois calcular a integral da diferença entre elas nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se cruzam. Isso acontece quando as duas expressões para x^2 - 1 = x + 1 são iguais. Então, igualamos :
Resolvendo essa equação quadrática para .

Passo 3

Vamos reorganizar a equação:
x^2 - x - 2 = 0
Agora, vamos resolver essa equação quadrática. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, , e .

Passo 4

Calculando o discriminante:
De
Como , temos duas raízes reais.

Passo 5

Aplicando a fórmula:
x = 1 pm raiz92 = 1 pm 32
Portanto, as soluções são:
x = 1 + 32 = 2 e x = 1 - 32 = -1

Passo 6

Agora sabemos que as curvas se encontram quando e . Esses serão os limites de integração para calcular a área.

Passo 7

A área entre duas curvas é dada pela integral da função de cima menos a função de baixo, no intervalo de integração. Aqui, está acima de entre e .

Passo 8

Então, configuramos a integral assim:
Área = integral-1^2 [(x + 1) - (x^2 - 1)] dx Á
Simplificando dentro da integral:
Área = integral-1^2 (-x^2 + x + 2) dx Á

Passo 9

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral (-x^2) dx = -x^33, integral x dx = x^22, integral 2 dx = 2x
Então, a antiderivada é:
-x^33 + x^22 + 2x

Passo 10

Vamos avaliar a antiderivada nos limites [-(2)^33 + (2)^22 + 2(2)] - [-(-1)^33 + (-1)^22 + 2(-1)] e -83 + 42 + 4 = -83 + 2 + 4 = -83 + 6 = 103 :
--13 + 12 - 2 = 13 + 12 - 2 = 56 - 2 = -76
Calculando cada parte:
Para :
Para :

Passo 11

Subtraindo:
103 - (-76) = 103 + 76 = 206 + 76 = 276 = 92

Resposta

A área da região é unidades quadradas.

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