Calcule as áreas pedidas.
A área da região dos pontos
tais que
A área da região dos pontos
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a área da região formada pelos pontos
que satisfazem a inequação
. Isso pertence ao conteúdo de Cálculo, mais especificamente à área entre curvas. Para resolver isso, vamos precisar identificar onde as duas curvas se encontram e depois calcular a integral da diferença entre elas nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se cruzam. Isso acontece quando as duas expressões para
são iguais. Então, igualamos
:
Resolvendo essa equação quadrática para
.
Passo 3
Vamos reorganizar a equação:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
.
Passo 4
Calculando o discriminante:
Como
, temos duas raízes reais.
Passo 5
Aplicando a fórmula:
Portanto, as soluções são:
Passo 6
Agora sabemos que as curvas se encontram quando
e
. Esses serão os limites de integração para calcular a área.
Passo 7
A área entre duas curvas é dada pela integral da função de cima menos a função de baixo, no intervalo de integração. Aqui,
está acima de
entre
e
.
Passo 8
Então, configuramos a integral assim:
Simplificando dentro da integral:
Passo 9
Agora, vamos integrar termo a termo:
Então, a antiderivada é:
Passo 10
Vamos avaliar a antiderivada nos limites
e
:
Calculando cada parte:
Para :
Para
Para
:
Passo 11
Subtraindo:
Resposta
A área da região é
unidades quadradas.