1. Calcule, se possível, o valor de
    (a) lim (x, y) (0,2) 2 x(y-2)3 x^2+y^2-4 y+4
    (b) lim (x, y, z) (2,1,0) (x+y+z-3)^5(x-2)(y-1) z^3

Passo 1

A questão pede para calcular dois limites de funções de várias variáveis: (a) um limite em $\mathbb R^2$ quando $ (x,y) \to (0,2)$; (b) um limite em $\mathbb R^3$ quando $ (x,y,z) \to (2,1,0)$. Vamos usar técnicas de fatoração e análise de caminhos (dependência de trajetória) para ver se os limites existem e, em caso afirmativo, encontrar o valor.

Passo 2

Para o item (a), observe que ao substituir diretamente $x=0$ e $y=2$ temos forma indeterminada $0/0$. Note que
x=0
Assim a função fica
y=2

Passo 3

Para verificar se o limite existe, parametrize $y-2 = m x$ (ou seja, escolha diferentes retas passando por $ (0,2)$). Então
y-2 = m x

Passo 4

Esse valor depende de \m\, então diferentes caminhos dão resultados diferentes. Logo o limite não existe.

Passo 5

No item (b), faça a mudança de variáveis $u = x-2, v = y-1, w = z$. Então quando $ (x,y,z) \to (2,1,0)$, temos $ (u,v,w) \to (0,0,0)$ e
u = x-2, v = y-1, w = z
O quociente vira
(x,y,z) to (2,1,0)

Passo 6

Para testar existência, escolha dois caminhos distintos:
  • Se $u=v=w$, então o quociente é $ (3u)^5/(u\cdot u\cdot u^3)=243.$
  • Se $v=-u, w=u$, então o quociente é $ u^5/(u\cdot(-u)\cdot u^3) = -1.$

Passo 7

Como obtemos valores diferentes, o limite também não existe.

Resposta

(a) não existe; (b) não existe

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