- Calcule, se possível, o valor de
(a)
(b)
(a)
(b)
Passo 1
A questão pede para calcular dois limites de funções de várias variáveis: (a) um limite em $\mathbb R^2$ quando $ (x,y) \to (0,2)$; (b) um limite em $\mathbb R^3$ quando $ (x,y,z) \to (2,1,0)$. Vamos usar técnicas de fatoração e análise de caminhos (dependência de trajetória) para ver se os limites existem e, em caso afirmativo, encontrar o valor.
Passo 2
Para o item (a), observe que ao substituir diretamente $x=0$ e $y=2$ temos forma indeterminada $0/0$. Note que
Assim a função fica
Passo 3
Para verificar se o limite existe, parametrize $y-2 = m x$ (ou seja, escolha diferentes retas passando por $ (0,2)$). Então
Passo 4
Esse valor depende de \m\, então diferentes caminhos dão resultados diferentes. Logo o limite não existe.
Passo 5
No item (b), faça a mudança de variáveis $u = x-2, v = y-1, w = z$. Então quando $ (x,y,z) \to (2,1,0)$, temos $ (u,v,w) \to (0,0,0)$ e
O quociente vira
Passo 6
Para testar existência, escolha dois caminhos distintos:
- Se $u=v=w$, então o quociente é $ (3u)^5/(u\cdot u\cdot u^3)=243.$
- Se $v=-u, w=u$, então o quociente é $ u^5/(u\cdot(-u)\cdot u^3) = -1.$
Passo 7
Como obtemos valores diferentes, o limite também não existe.
Resposta
(a) não existe; (b) não existe