1. A energia consumida num resistor elétrico, em função da voltagem V e da resistência R é dada por P=V^2R. Deseja-se que um determinado resistor tenha uma voltagem de 200 volts e uma resistência de 20 ohms.
    (a) Qual deverá ser a variação na resistência para que a energia consumida nesse resistor fique praticamente inalterada quando a voltagem sofrer um decréscimo de 0,2 volts?
    (b) Se esse resistor consumir 3 % a mais que a energia desejada quando sua resistência for 1 % menor que a desejada, qual será a variação percentual da sua voltagem?

Passo 1

Estamos lidando com a potência elétrica dada por P=V^2/R, com V₀=200 V e R₀=20 Ω. Precisamos achar como pequenas variações em V e R afetam P.

Passo 2

Usamos a diferenciação total em P(V,R). Como P=V^2/R, temos ∂P/∂V=2V/R e ∂P/∂R=−V2/R2. Para variações pequenas, dP≈(2V/R)dV−(V2/R2)dR.

Passo 3

Para manter P constante (dP=0) quando a voltagem decresce dV=−0,2 V, igualamos 0=(2V₀/R₀)dV−(V₀2/R₀2)dR e isolamos dR: dR=(2R₀dV)/V₀. Substituindo R₀=20 Ω, V₀=200 V e dV=−0,2 V, vem dR=2·20·(−0,2)/200=−0,04 Ω.

Passo 4

Para variações percentuais pequenas, usamos a forma diferencial de logs: dP/P=2 dV/V−dR/R. Queremos dP/P=+0,03 quando R cai 1 % (dR/R=−0,01). Logo 0,03=2 dV/V−(−0,01)=2 dV/V+0,01, de onde 2 dV/V=0,02 e assim dV/V=0,01, ou seja +1 %.

Resposta

a) A resistência deve variar em −0,04 Ω. b) A voltagem deve variar +1 %.

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