Calcule as áreas pedidas.
A área entre o eixo x e a função f(x)=x^21+x^3, para x entre 2 e 5 .

Passo 1

O enunciado pede a área entre o eixo x e a curva f(x)= x^21+x^3 no intervalo [2,5]. Esse tipo de problema usa o conceito de área sob a curva, que é dado por uma integral definida, e vamos precisar aplicar a técnica de substituição.

Passo 2

Como f(x)>0 para x∈[2,5], a área A é dada por
A = integral2^5 x^21+x^3,dx

Passo 3

Para resolver essa integral, usamos a substituição
u = 1 + x^3,
então
du = 3x^2,dx Longrightarrow x^2,dx = du3

Passo 4

A integral indefinida fica:
integral x^21+x^3,dx = 13integral duu = 13ln|u| + C = 13ln(1 + x^3) + C

Passo 5

Agora aplicamos os limites de 2 a 5 e simplificamos:
A = [13ln(1 + x^3)]2^5 = 13ln(126) - 13ln(9) = 13lnl(tfrac1269r) = 13ln(14)

Resposta

13ln(14)

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