Calcule as áreas das regiões limitadas pelas curvadas dadas. .
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas e . O conteúdo aqui é área entre curvas usando integração definida e mudança de variável. Para resolver, vamos precisar achar os pontos de interseção (resolvendo ), decidir qual função está por cima, montar o integral e calcular a integral por substituição.
Passo 2
Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as funções:
Como , podemos multiplicar por e obter:
Logo,
Elevando ao quadrado,
Isto dá duas soluções em :
Passo 3
Para ver qual curva fica por cima em , testamos em :
ou seja, está acima de .
Passo 4
A área procurada é
Para calcular, separamos as primitivas:
Logo, uma antiderivada é
F(x) = 3ln x - arcsin(ln x)
Passo 5
Avaliando de x2 a x1 com ln x1=2raiz2/3 e ln x2=-2raiz2/3 e subtraindo, obtemos
l[3ln x - arcsin(ln x)r]x2^x1 = (2raiz2 - arcsin(2raiz2/3)) - (-2raiz2 + arcsin(-2raiz2/3))
Usando arcsin(-a)=-arcsin(a), isso simplifica para 4raiz2 - 2arcsinl(tfrac2raiz23r)