Calcule as áreas das regiões limitadas pelas curvadas dadas.
y=1x raiz1-(ln x)^2, y=3x.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y=tfrac1xraiz1-(ln x)^2 e y=tfrac3x. O conteúdo aqui é área entre curvas usando integração definida e mudança de variável. Para resolver, vamos precisar achar os pontos de interseção (resolvendo f(x)=g(x)), decidir qual função está por cima, montar o integral integral (topo - base),dx e calcular a integral por substituição.

Passo 2

Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as funções:
1xraiz1-(ln x)^2 = 3x
Como x>0, podemos multiplicar por x e obter:
1raiz1-(ln x)^2 = 3
Logo,
raiz1-(ln x)^2 = 13
Elevando ao quadrado,
1-(ln x)^2 = 19 Longrightarrow (ln x)^2 = 89
Isto dá duas soluções em x:
x1 = e^2raiz2/3, x2 = e^-2raiz2/3

Passo 3

Para ver qual curva fica por cima em [x2,x1], testamos em x=1:
y1(1)=1, y2(1)=3, ou seja, y=3/x está acima de y=1/(xraiz1-(ln x)^2).

Passo 4

A área procurada é
integralx2^x1 gl(3x - 1xraiz1-(ln x)^2gr),dx
Para calcular, separamos as primitivas:
integral 3x,dx = 3ln x, integral 1xraiz1-(ln x)^2,dxxrightarrowt=ln xintegral dtraiz1-t^2 = arcsin(t) + C
Logo, uma antiderivada é
F(x) = 3ln x - arcsin(ln x)

Passo 5

Avaliando de x2 a x1 com ln x1=2raiz2/3 e ln x2=-2raiz2/3 e subtraindo, obtemos
l[3ln x - arcsin(ln x)r]x2^x1 = (2raiz2 - arcsin(2raiz2/3)) - (-2raiz2 + arcsin(-2raiz2/3))
Usando arcsin(-a)=-arcsin(a), isso simplifica para
4raiz2 - 2arcsinl(tfrac2raiz23r)

Resposta

4raiz2 - 2arcsinl(2raiz23r)

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