b) x^{2}-2 x+4=1-x^{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^{2}-2x+4=1-x^{2}
e pede que a gente determine os valores de x que satisfazem essa igualdade.
Informações relevantes dadas:
\text{equação: } x^{2}-2x+4=1-x^{2}.çã
Não há outras condições no enunciado (por exemplo, restrição a números reais), então vamos resolver a equação no conjunto dos números complexos e comentar sobre soluções reais na sequência.

Passo 2

Primeiro passo prático: colocar todos os termos em um mesmo membro para obter uma equação do tipo padrão. Vou somar x^{2} aos dois lados e subtrair 1 dos dois lados para juntar tudo à esquerda:
x^{2}-2x+4 - (1-x^{2}) = 0.
Agora simplifico o que está à esquerda.

Passo 3

Simplificando o membro esquerdo:
x^{2}-2x+4 -1 + x^{2} = 0,
ou seja
2x^{2}-2x+3=0.
Aqui temos uma equação quadrática no formato padrão \;ax^{2}+bx+c=0\; com
a=2,\quad b=-2,\quad c=3.

Passo 4

Vou lembrar e explicar a ferramenta que usamos para resolver uma quadrática: a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para uma equação \;ax^{2}+bx+c=0\;, as raízes são dadas por
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Nessa fórmula:
  • a é o coeficiente de x^{2},
  • b é o coeficiente de x,
  • c é o termo constante,
  • o discriminante é \Delta=b^{2}-4ac; ele indica se as raízes são reais ( \Delta\ge 0) ou complexas ( \Delta<0).

Passo 5

Calculo o discriminante para a nossa equação com \;a=2,\;b=-2,\;c=3\;:
\Delta = b^{2}-4ac = (-2)^{2}-4\cdot 2\cdot 3 = 4-24 = -20.
Como \Delta=-20<0, concluímos que a equação não tem soluções reais — as raízes são complexas conjugadas.

Passo 6

Agora aplico a fórmula de Bhaskara para obter as raízes complexas. Substituindo a, b e \Delta na fórmula:
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-2)\pm\sqrt{-20}}{2\cdot 2}.
Simplificando o numerador e o denominador:
x=\frac{2\pm\sqrt{-20}}{4}.

Passo 7

Transformo \sqrt{-20} em termos de i (a unidade imaginária, com i^{2}=-1) e simplifico a raiz:
\sqrt{-20} = i\sqrt{20} = i\sqrt{4\cdot 5} = i\cdot 2\sqrt{5}.
Substituindo de volta:
x=\frac{2\pm 2i\sqrt{5}}{4}.
Faço a simplificação dividindo numerador e denominador por 2:
x=\frac{1\pm i\sqrt{5}}{2}.

Passo 8

Interpretação final e verificação rápida (intuitiva): como \Delta<0 já esperávamos raízes complexas; as duas soluções encontradas são conjugadas e satisfazem a equação original (poderíamos substituir cada uma na equação original para verificar, mas isso daria contas longas — a aplicação correta da fórmula garante a solução).

Resposta

Não há solução real.
Soluções complexas: \displaystyle x=\frac{1\pm i\sqrt{5}}{2}

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