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use a definição de função continua para provar que f(x)=3 x+2 é continua em x=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que a função $ f(x) = 3x + 2 $ é contínua em $ x = 2 $ usando a definição de função contínua. Para isso, precisamos entender o que é continuidade e como aplicar a definição passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Basicamente, uma função $ f $ é contínua em um ponto $ a $ se três condições forem satisfeitas:
  1. $ f(a) $ está definida.
  2. O limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ a $ existe.
  3. O limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ a $ é igual a $ f(a) $.
Vamos aplicar isso para $ f(x) = 3x + 2 $ em $ x = 2 $.

Passo 3

Primeiro, verificamos se $ f(2) $ está definida. Substituindo $ x $ por 2 na função:
f(2)
Então, $ f(2) = 8 $ está definida.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 2. Para funções polinomiais como $ 3x + 2 $, o limite quando $ x $ se aproxima de um valor é simplesmente o valor da função naquele ponto. Então:
f(x)
Portanto, o limite existe e é igual a 8.

Passo 5

Por último, comparamos o limite que encontramos com $ f(2) $:
f(2)
Como os dois valores são iguais, a terceira condição da continuidade é satisfeita.

Resposta

Assim, pela definição de função contínua, $ f(x) = 3x + 2 $ é contínua em $ x = 2 $.

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