Dado f(x)=cx^2+1, se x >= 1 2 x^2, se x<1
Calcule os limites laterais
l 1^2+1=2 2 cdot 1=2
lim x 1^+ f(x)-f(1)x-1 e lim x 1^- f(x)-f(1)x-1

Passo 1

Temos f(x) definida por:
f(x)= x^2+1,&x>=1 2x^2,&x<1
Queremos calcular os limites laterais do quociente de diferença f(x)-f(1)x-1 quando xto1^+ e xto1^- usando fatoração e propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro determinamos f(1). Como 1>=1, usamos a primeira parte e temos:
f(1)=1^2+1=2

Passo 3

Para o limite pela direita xto1^+, usamos f(x)=x^2+1. Então:
f(x)-f(1)x-1=(x^2+1)-2x-1=x^2-1x-1=(x-1)(x+1)x-1=x+1
Logo
limxto1^+f(x)-f(1)x-1=1+1=2

Passo 4

Para o limite pela esquerda xto1^-, usamos f(x)=2x^2. Então:
f(x)-f(1)x-1=2x^2-2x-1=2(x^2-1)x-1=2(x-1)(x+1)x-1=2(x+1)
Logo
limxto1^-f(x)-f(1)x-1=2(1+1)=4

Passo 5

Como os limites laterais são diferentes, a derivada lateral à direita é 2 e à esquerda é 4, mostrando que a função não é diferenciável em x=1.

Resposta

limxto1^+f(x)-f(1)x-1=2 e limxto1^-f(x)-f(1)x-1=4.

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