Calcule as áreas das regiões limitadas pelas curvadas dadas, conforme o seguinte:
a) esboce as regiões;
b) forneça as integrais definidas que correspondem às áreas dessas regiões;
c) calcule essas integrais.
.
a) esboce as regiões;
b) forneça as integrais definidas que correspondem às áreas dessas regiões;
c) calcule essas integrais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular as áreas das regiões limitadas pelas curvas $ x = y^{2} - 1 $ e $ x = |y| \sqrt{1 - y^{2}} $. Isso está ligado ao conteúdo de cálculo integral, especificamente na determinação de áreas entre curvas. Para resolver, vamos precisar entender como essas curvas se comportam no plano cartesiano e usar integrais definidas para encontrar a área entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar as regiões delimitadas por essas curvas para visualizar melhor o que estamos tratando.
- A curva $ x = y^{2} - 1 $ é uma parábola que abre para a direita, deslocada 1 unidade para a esquerda no eixo $ x $.
- A curva $ x = |y| \sqrt{1 - y^{2}} $ é um pouco mais complicada, mas podemos notar que envolve uma raiz quadrada e o valor absoluto de $ y $, o que sugere que a curva é simétrica em relação ao eixo $ x $ e está definida apenas para $ -1 \leq y \leq 1 $ devido ao termo $ \sqrt{1 - y^{2}} $.
Ao esboçar essas curvas, percebemos que elas se intersectam em certos pontos, formando uma região fechada cuja área queremos calcular.
Passo 3
Agora, vamos identificar os pontos de interseção das duas curvas para determinar os limites de integração. Para encontrar esses pontos, igualamos as duas expressões de $ x $:
Como a expressão envolve $ |y| $, consideramos dois casos: $ y \geq 0 $ e $ y < 0 $.
Caso 1: $ y \geq 0 $
Elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Resolvendo essa equação, encontramos os valores de $ y $ onde as curvas se intersectam.
Caso 2: $ y < 0 $
Seguindo o mesmo processo de elevação ao quadrado e resolução, encontramos os pontos de interseção para $ y < 0 $.
Após resolver, verificamos que as curvas se intersectam nos pontos $ y = -1 $, $ y = 0 $ e $ y = 1 $.
Com isso, os limites de integração para $ y $ são de $ -1 $ a $ 1 $.
Passo 4
Agora que temos os limites de integração, vamos montar a integral definida que representa a área entre as duas curvas. A área $ A $ pode ser calculada pela diferença entre as funções de $ x $ no intervalo de $ y = -1 $ a $ y = 1 $:
Como a função $ |y| \sqrt{1 - y^{2}} $ é par (simeétrica em relação ao eixo $ y $), podemos simplificar a integral multiplicando por 2 e integrando de 0 a 1:
Vamos calcular cada parte da integral separadamente.
Primeiro, integramos $ y^{2} - 1 $:
Segundo, integramos $ y \sqrt{1 - y^{2}} $. Fazendo uma substituição $ u = 1 - y^{2} $, $ du = -2y dy $, temos:
Agora, substituímos os limites de 0 a 1:
Para $ \frac{y^{3}}{3} - y $ de 0 a 1:
Para $ -\frac{1}{3} (1 - y{2}){3/2} $ de 0 a 1:
Somando as duas partes:
Como área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:
Resposta
A área das regiões limitadas pelas curvas $ x = y^{2} - 1 $ e $ x = |y| \sqrt{1 - y^{2}} $ é igual a $ \frac{2}{3} $ unidades de área.