Utilizando coordenadas esféricas e coordenadas cilíndricas calcule os seguintes volumes e integrais.
integral-3^3 integral0^raiz9-y^2 integral0^9-x^2-y^2 raizx^2+y^2 d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor da integral tripla






\

Passo 2

Aqui temos a integral
integralx=0^raiz9-y^2nabla integraly=-3^3 integralz=0^9 - x^2 - y^2 raizx^2 + y^2,dz,dy,dx
O conteúdo principal é mudança para coordenadas cilíndricas. Vamos precisar usar as relações
x = rcostheta, y = rsintheta, z = z
e o Jacobiano r.

Passo 3

Na projeção no plano xy, temos um semicírculo de raio 3 (porque x>=0 e x^2+y^2<=9). Assim os limites em coordenadas cilíndricas são:
thetain[-tfracpi2,tfracpi2], rin[0,3], zin[0,9 - r^2]

Passo 4

A integral vira
integraltheta=-pi2^pi2 integralr=0^3 integralz=0^9-r^2 underbraceraizr^2=r;underbracerJacobiano,dz,dr,dtheta = integral-pi2^pi2 integral0^3r^2,l(9 - r^2r),dr,dtheta

Passo 5

Integrando em z já fizemos. Agora em r:
integral0^3(9r^2 - r^4),dr = l[3r^3 - tfracr^55r]0^3 = 81 - tfrac2435 = tfrac1625
Resta integrar em theta, que dá um fator de comprimento pi:
pi cdot tfrac1625 = tfrac162pi5

Resposta

\tfrac{162\pi}{5}

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