Encontre um fator de integração
para a equação
de forma a transformá-la numa equação exata. Verifique que a função
encontrada é realmente um fator integrante.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos uma equação diferencial ordinária:
Nosso objetivo é encontrar um fator de integração
que depende apenas de
. Ao multiplicar a equação original por esse fator, queremos transformar a equação em uma equação exata, facilitando assim a resolução. Para isso, vamos utilizar conceitos de equações diferenciais exatas e fatores integrantes.
Passo 2
Uma equação diferencial da forma
é exata se satisfizer a condição:
Identificando os termos na nossa equação:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Para encontrar um fator de integração que depende apenas de
, usamos a fórmula:
Substituindo os valores que já calculamos:
Então:
Como estamos procurando apenas um fator de integração, podemos ignorar a constante de integração
. Portanto:
Passo 4
Agora, multiplicamos a equação original pelo fator de integração encontrado:
Queremos verificar se a equação resultante é exata.
Passo 5
Para confirmar que a equação multiplicada é exata, calculamos as derivadas parciais dos novos termos
e
:
Calculando as derivadas:
Observamos que:
Portanto, a equação é exata após a multiplicação pelo fator de integração
.
Resposta
O fator de integração é
.