Encontre um fator de integração mu(y) para a equação
x+(x^2 y+4 y) d yd x=0
de forma a transformá-la numa equação exata. Verifique que a função mu(y) encontrada é realmente um fator integrante.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos uma equação diferencial ordinária:
x + (x^2 y + 4 y) d yd x = 0
Nosso objetivo é encontrar um fator de integração mu(y) que depende apenas de y. Ao multiplicar a equação original por esse fator, queremos transformar a equação em uma equação exata, facilitando assim a resolução. Para isso, vamos utilizar conceitos de equações diferenciais exatas e fatores integrantes.

Passo 2

Uma equação diferencial da forma M(x,y) + N(x,y) d yd x = 0 é exata se satisfizer a condição:
partial Mpartial y = partial Npartial x
Identificando os termos na nossa equação:
M(x,y) = x N(x,y) = x^2 y + 4 y
Vamos calcular as derivadas parciais:
partial Mpartial y = partial xpartial y = 0 partial Npartial x = partialpartial x (x^2 y + 4 y) = 2 x y
Como partial Mpartial y neq partial Npartial x, a equação não é exata.

Passo 3

Para encontrar um fator de integração que depende apenas de y, usamos a fórmula:
mu(y) = exp( integral partial Npartial x - partial Mpartial y M dy )
Substituindo os valores que já calculamos:
partial Npartial x - partial Mpartial y = 2 x y - 0 = 2 x y M = x
Então:
mu(y) = exp( integral 2 x yx dy ) = exp( integral 2 y , dy ) = exp(y^2 + C)
Como estamos procurando apenas um fator de integração, podemos ignorar a constante de integração C. Portanto:
mu(y) = e^y^2

Passo 4

Agora, multiplicamos a equação original pelo fator de integração encontrado:
e^y^2 x + e^y^2 (x^2 y + 4 y) d yd x = 0
Queremos verificar se a equação resultante é exata.

Passo 5

Para confirmar que a equação multiplicada é exata, calculamos as derivadas parciais dos novos termos Mnova e Nnova:
Mnova = e^y^2 x Nnova = e^y^2 (x^2 y + 4 y)
Calculando as derivadas:
partial Mnovapartial y = e^y^2 cdot 2 y x partial Nnovapartial x = e^y^2 cdot 2 x y
Observamos que:
partial Mnovapartial y = partial Nnovapartial x
Portanto, a equação é exata após a multiplicação pelo fator de integração mu(y) = e^y^2.

Resposta

O fator de integração é mu(y) = e^y^2.

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