Calcule as áreas das regiões limitadas pelas curvadas dadas, conforme o seguinte:
a) esboce as regiões;
b) forneça as integrais definidas que correspondem às áreas dessas regiões;
c) calcule essas integrais. .
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada por y = |x³ – 4x² + x + 6|, y = –x²/3, x = 0 e x = 4. É um problema de cálculo de áreas usando integrais definidas e valor absoluto, então vamos precisar achar onde o polinômio f(x) = x³ – 4x² + x + 6 muda de sinal para montar as integrais.
Passo 2
Para esboçar, primeiro encontramos as raízes de f(x) em [0,4]. Fatorando x³ – 4x² + x + 6 = (x + 1)(x – 2)(x – 3), temos zeros em x = –1, 2, 3. Em [0,2] e [3,4], f(x) ≥ 0, e em [2,3], f(x) ≤ 0. A curva y = |f(x)| coincide com f(x) em [0,2]∪[3,4] e com –f(x) em [2,3]. A parábola y = –x²/3 fica sempre abaixo do eixo x. Assim, a região é a área entre |f(x)| por cima e –x²/3 por baixo, de x = 0 a x = 4.
Agora calculamos cada trecho. Note que em [0,2] e [3,4] f(x) + x^2/3 = x^3 - \tfrac{11}{3}x^2 + x + 6, e em [2,3] -f(x) + x^2/3 = -x^3 + \tfrac{13}{3}x^2 - x - 6.