Calcule as áreas das regiões limitadas pelas curvadas dadas, conforme o seguinte:
a) esboce as regiões;
b) forneça as integrais definidas que correspondem às áreas dessas regiões;
c) calcule essas integrais.
.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada por y = |x³ – 4x² + x + 6|, y = –x²/3, x = 0 e x = 4. É um problema de cálculo de áreas usando integrais definidas e valor absoluto, então vamos precisar achar onde o polinômio f(x) = x³ – 4x² + x + 6 muda de sinal para montar as integrais.

Passo 2

Para esboçar, primeiro encontramos as raízes de f(x) em [0,4]. Fatorando x³ – 4x² + x + 6 = (x + 1)(x – 2)(x – 3), temos zeros em x = –1, 2, 3. Em [0,2] e [3,4], f(x) ≥ 0, e em [2,3], f(x) ≤ 0. A curva y = |f(x)| coincide com f(x) em [0,2]∪[3,4] e com –f(x) em [2,3]. A parábola y = –x²/3 fica sempre abaixo do eixo x. Assim, a região é a área entre |f(x)| por cima e –x²/3 por baixo, de x = 0 a x = 4.

Passo 3

A área A é dada por
A = integral0^4 l(|f(x)| - (-x^2/3)r),dx = integral0^4 l(|f(x)| + x^2/3r),dx
e, dividindo nos trechos onde f muda de sinal, obtemos
A = integral0^2 l(f(x)+ x^2/3r),dx + integral2^3 l(-f(x)+ x^2/3r),dx + integral3^4 l(f(x)+ x^2/3r),dx

Passo 4

Agora calculamos cada trecho. Note que em [0,2] e [3,4] f(x) + x^2/3 = x^3 - \tfrac{11}{3}x^2 + x + 6, e em [2,3] -f(x) + x^2/3 = -x^3 + \tfrac{13}{3}x^2 - x - 6.
Para [0,2]:
A1 = integral0^2 l(x^3 - tfrac113x^2 + x + 6r)dx = [x^44 - 11x^39 + x^22 + 6x]0^2 = 749
Para [2,3]:
A2 = integral2^3 l(-x^3 + tfrac133x^2 - x - 6r)dx = [-x^44 + 13x^39 - x^22 - 6x]2^3 = 9736
Para [3,4]:
A3 = integral3^4 l(x^3 - tfrac113x^2 + x + 6r)dx = [x^44 - 11x^39 + x^22 + 6x]3^4 = 28936
Somando, temos
A = 749 + 9736 + 28936 = 34118

Resposta

A área total da região é 34118.

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