Determine o Jacobiano das seguintes transformações de coordenadas.
Coordenadas hiperbólicas:
Neste sistema de coordenadas, curvas com variável & x=v e^u & y=v e^-u constante formam retas a partir da origem e curvas com u constante formam hipérboles. O sistema hiperbólico parametriza somente o quadrante positivo do plano cartesiano.

Passo 1

A questão dá a transformação de coordenadas hiperbólicas x = v e^u e y = v e^-u e pede para achar o jacobiano, ou seja, o determinante da matriz de derivadas parciais. O conteúdo é gradação de variáveis e precisamos usar a definição de jacobiano para transformações de coordenadas.

Passo 2

O jacobiano J de uma transformação (u,v)to(x,y) é dado por
J = det partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v

Passo 3

Agora calculamos cada derivada parcial. Para x = v e^u temos
partial xpartial u = v e^u, partial xpartial v = e^u
Para y = v e^-u obtemos
partial ypartial u = -v e^-u, partial ypartial v = e^-u

Passo 4

Montamos a matriz jacobiana e calculamos o determinante:
J = det v e^u & e^u -,v e^-u & e^-u = (v e^u)(e^-u) - (e^u)(-v e^-u)

Passo 5

Simplificando cada termo:
(v e^u)(e^-u) = v, (e^u)(-v e^-u) = -v,
eos sinais dão
J = v - (-v) = 2v

Resposta

J = 2v

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