Determine o Jacobiano das seguintes transformações de coordenadas.
Coordenadas hiperbólicas:
Neste sistema de coordenadas, curvas com variável
constante formam retas a partir da origem e curvas com
constante formam hipérboles. O sistema hiperbólico parametriza somente o quadrante positivo do plano cartesiano.
Coordenadas hiperbólicas:
Passo 1
A questão dá a transformação de coordenadas hiperbólicas
e
e pede para achar o jacobiano, ou seja, o determinante da matriz de derivadas parciais. O conteúdo é gradação de variáveis e precisamos usar a definição de jacobiano para transformações de coordenadas.
Passo 2
O jacobiano
de uma transformação
é dado por
Passo 3
Agora calculamos cada derivada parcial. Para
temos
Para
obtemos
Passo 4
Montamos a matriz jacobiana e calculamos o determinante:
Passo 5
Simplificando cada termo:
eos sinais dão