Determine o Jacobiano das seguintes transformações de coordenadas.
Coordenadas parabólicas:
Sistema de coordenadas ortogonais bidimensional em que as linhas coordenadas são parábolas confocais. As curvas com variável
constante formam parábolas viradas para cima e curvas com
constante formam parábolas viradas para baixo.
Coordenadas parabólicas:
Passo 1
Nesse exercício vamos calcular o Jacobiano da transformação de coordenadas parabólicas definida por
x = u v
e
y = \tfrac12\bigl(v^2 - u^2\bigr).
O conteúdo envolvido é o cálculo do Jacobiano de uma transformação bidimensional, que se obtém a partir das derivadas parciais das funções x(u,v) e y(u,v).
Passo 2
Primeiro, computamos as derivadas parciais de x e y em relação a u e v:
Para x(u,v) = u,v:
Para y(u,v) = \tfrac12\bigl(v^2 - u^2\bigr):
Passo 3
Em seguida, montamos a matriz Jacobiana J(u,v) cujos elementos são essas derivadas parciais:
O Jacobiano escalar que queremos é o determinante dessa matriz.
Passo 4
Agora basta calcular o determinante de J(u,v):
Resposta
O Jacobiano da transformação parabólica é