Determine o Jacobiano das seguintes transformações de coordenadas.
Coordenadas parabólicas:
Sistema de coordenadas ortogonais bidimensional em que as linhas coordenadas são parábolas confocais. As curvas com variável & x=u v & y=12(v^2-u^2) constante formam parábolas viradas para cima e curvas com u constante formam parábolas viradas para baixo.

Passo 1

Nesse exercício vamos calcular o Jacobiano da transformação de coordenadas parabólicas definida por
x = u v
e
y = \tfrac12\bigl(v^2 - u^2\bigr).
O conteúdo envolvido é o cálculo do Jacobiano de uma transformação bidimensional, que se obtém a partir das derivadas parciais das funções x(u,v) e y(u,v).

Passo 2

Primeiro, computamos as derivadas parciais de x e y em relação a u e v:
Para x(u,v) = u,v:
partial xpartial u = v, partial xpartial v = u
Para y(u,v) = \tfrac12\bigl(v^2 - u^2\bigr):
partial ypartial u = -u, partial ypartial v = v

Passo 3

Em seguida, montamos a matriz Jacobiana J(u,v) cujos elementos são essas derivadas parciais:
J(u,v) = dfracpartial xpartial u & dfracpartial xpartial v dfracpartial ypartial u & dfracpartial ypartial v = v & u -!u & v
O Jacobiano escalar que queremos é o determinante dessa matriz.

Passo 4

Agora basta calcular o determinante de J(u,v):
det J(u,v) = (v)(v) - (u)(-u) = v^2 + u^2

Resposta

O Jacobiano da transformação parabólica é
detl(tfracpartial(x,y)partial(u,v)r) = u^2 + v^2

Exercícios relacionados