Determine o Jacobiano das seguintes transformações de coordenadas.
Coordenadas elípticas:
O sistema de coordenadas elíptico é um sistema de coordenadas bidimensional ortogonal em que as linhas coordenadas (ortogonais) são elipses e hipérboles confocais (isto é, as cônicas têm focos coincidentes). Os dois focos são usualmente fixados nos pontos & x=a cosh (u) cos (v) & y=a sinh (u) sin (v) e a sobre o eixo -a do sistema de coordenadas Cartesiano. Para esse sistema de coordenadas, x e u >= 0. https://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_coordinate_system

Passo 1

Resumindo o enunciado: precisamos achar o Jacobiano, que é o determinante da matriz de derivadas parciais da transformação de coordenadas elípticas (u,v)mapsto(x,y), onde
x = acosh(u)cos(v),
y = asinh(u)sin(v)
O conteúdo é cálculo de Jacobiano em duas variáveis, e vamos usar
J = detpartial(x,y)partial(u,v) = xu yv - xv yu

Passo 2

Começamos calculando as derivadas parciais de x e y em relação a u e v:
xu = asinh(u)cos(v),
xv = -acosh(u)sin(v),
yu = acosh(u)sin(v),
yv = asinh(u)cos(v)

Passo 3

Montamos a matriz jacobiana e calculamos o determinante:
J = detxu & xv yu & yv = xu yv - xv yu
Substituindo as derivadas:
J = a^2l[sinh^2(u)cos^2(v) + cosh^2(u)sin^2(v)r]
Usando a identidade cosh^2(u)=1+sinh^2(u) ou cosh^2(u)-cos^2(v)=sinh^2(u)+sin^2(v), chegamos a:

Passo 4

O resultado pode ser escrito em duas formas equivalentes:
J = a^2l(sinh^2(u) + sin^2(v)r)
ou
J = a^2l(cosh^2(u) - cos^2(v)r)

Resposta

J = a2\bigl(\sinh2(u) + \sin^2(v)\bigr) = a2\bigl(\cosh2(u) - \cos^2(v)\bigr)

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