Determine o Jacobiano das seguintes transformações de coordenadas.
Coordenadas elípticas:
O sistema de coordenadas elíptico é um sistema de coordenadas bidimensional ortogonal em que as linhas coordenadas (ortogonais) são elipses e hipérboles confocais (isto é, as cônicas têm focos coincidentes). Os dois focos são usualmente fixados nos pontos e sobre o eixo do sistema de coordenadas Cartesiano. Para esse sistema de coordenadas, e . https://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_coordinate_system
Passo 1
Resumindo o enunciado: precisamos achar o Jacobiano, que é o determinante da matriz de derivadas parciais da transformação de coordenadas elípticas , onde
O conteúdo é cálculo de Jacobiano em duas variáveis, e vamos usar
Passo 2
Começamos calculando as derivadas parciais de e em relação a e :
Passo 3
Montamos a matriz jacobiana e calculamos o determinante:
Substituindo as derivadas:
J = a^2l[sinh^2(u)cos^2(v) + cosh^2(u)sin^2(v)r]
Usando a identidade cosh^2(u)=1+sinh^2(u) ou cosh^2(u)-cos^2(v)=sinh^2(u)+sin^2(v), chegamos a:
Passo 4
O resultado pode ser escrito em duas formas equivalentes: