Q.3: Calcule as ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS e ASSÍNTOTAS VERTICAIS da função abaixo, se existirem. Caso não existam, justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá a função racional
e pede duas coisas:
- Calcular as ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS (se existirem).
- Calcular as ASSÍNTOTAS VERTICAIS (se existirem).
Informações relevantes do enunciado que vamos usar:
Essas duas expressões polinomiais determinam onde o denominador pode ser zero (possíveis assimptotas verticais) e a comparação dos graus de
e
ajuda a decidir sobre assíntotas horizontais.
Passo 2
Vamos encontrar as possíveis ASSÍNTOTAS VERTICAIS.
Conceito rápido e intuitivo (sem jargão demais): uma assíntota vertical em
ocorre quando
e, ao mesmo tempo,
. Nesse caso
tende para
ou
quando
se aproxima de
, ou seja há uma “explosão” da função.
- Primeiro fatorar
para achar as raízes:
As raízes são
e
.
- Avaliar o numerador nessas abscissas para ver se anulam (se anulasse, teríamos um buraco/remoção em vez de assíntota vertical):
Como em ambos os pontos o numerador não zera, os zeros do denominador são realmente assíntotas verticais.
- Para ficar bem claro: explicar o comportamento lateral (sinal da explosão) usando fatorização
e o fato de , .
-
Em
: pequeno, (≈3), logo pequeno ⇒ . -
Em
: pequeno, , logo pequeno ⇒ . -
Em
: pequeno, (≈-3), logo pequeno ⇒ . -
Em
: pequeno, , logo pequeno ⇒ .
Portanto existem assíntotas verticais em
Passo 3
Agora vamos às ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS.
Conceito prático: uma assíntota horizontal
existe se
(com
finito). Para funções racionais costuma-se comparar os graus (polinômios) do numerador e do denominador:
- Se
então é assíntota horizontal. - Se
então existe assíntota horizontal razão dos coeficientes líderes. - Se
então não há assíntota horizontal (a função geralmente tende a ); nesse caso, às vezes aparece uma assentota oblíqua/linear.
Aqui
e
, logo
. Assim não existe assíntota horizontal (nem para
nem para
).
Para tornar isso explícito, podemos observar o comportamento dominante: para
grande,
logo
quando
e
quando
. Portanto não há limite finito quando
, quer dizer: não há assíntota horizontal.
Passo 4
Observação útil (não pedida, mas que ajuda na intuição e pode cair em prova): quando
costuma existir uma assíntota oblíqua (reta do tipo
). Aqui
e
, então podemos achar essa reta fazendo a divisão de polinômios.
Dividindo
por
:
Explicação rápida do resultado: o quociente é
e o resto é
. Como o resto tem grau menor que o denominador, o termo
tende a
quando
. Assim
ou seja a reta
é a assíntota oblíqua (slant). Isso confirma também que não há assíntota horizontal: a aproximação é por uma reta inclinada, não por uma constante.
Resposta
Assíntotas horizontais: não existem.
Assíntotas verticais: e
.
Assíntotas verticais: