Q.3: Calcule as ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS e ASSÍNTOTAS VERTICAIS da função abaixo, se existirem. Caso não existam, justifique sua resposta.
f(x)=\frac{x^{3}+4 x^{2}+x+2}{x^{2}-x-2}

Passo 1

O enunciado dá a função racional
f(x)=\frac{x^{3}+4x^{2}+x+2}{x^{2}-x-2}
e pede duas coisas:
  1. Calcular as ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS (se existirem).
  2. Calcular as ASSÍNTOTAS VERTICAIS (se existirem).
Informações relevantes do enunciado que vamos usar:
\text{numerador } N(x)=x^{3}+4x^{2}+x+2,\qquad \text{denominador } D(x)=x^{2}-x-2.
Essas duas expressões polinomiais determinam onde o denominador pode ser zero (possíveis assimptotas verticais) e a comparação dos graus de N e D ajuda a decidir sobre assíntotas horizontais.

Passo 2

Vamos encontrar as possíveis ASSÍNTOTAS VERTICAIS.
Conceito rápido e intuitivo (sem jargão demais): uma assíntota vertical em x=a ocorre quando D(a)=0 e, ao mesmo tempo, N(a)\neq0. Nesse caso f(x) tende para +\infty ou -\infty quando x se aproxima de a, ou seja há uma “explosão” da função.
  1. Primeiro fatorar D(x) para achar as raízes:
x^{2}-x-2=(x-2)(x+1).
As raízes são x=2 e x=-1.
  1. Avaliar o numerador nessas abscissas para ver se anulam (se anulasse, teríamos um buraco/remoção em vez de assíntota vertical):
N(2)=2^{3}+4\cdot2^{2}+2+2=8+16+2+2=28\neq0.
N(-1)=(-1)^{3}+4(-1)^{2}+(-1)+2=-1+4-1+2=4\neq0.
Como em ambos os pontos o numerador não zera, os zeros do denominador são realmente assíntotas verticais.
  1. Para ficar bem claro: explicar o comportamento lateral (sinal da explosão) usando fatorização D(x)=(x-2)(x+1) e o fato de N(2)=28>0, N(-1)=4>0.
  • Em x\to2^{+}: (x-2)>0 pequeno, (x+1)>0 (≈3), logo D(x)>0 pequeno ⇒ f(x)=N(x)/D(x)\to +\infty.
  • Em x\to2^{-}: (x-2)<0 pequeno, (x+1)>0, logo D(x)<0 pequeno ⇒ f(x)\to -\infty.
  • Em x\to-1^{+}: (x+1)>0 pequeno, (x-2)<0 (≈-3), logo D(x)<0 pequeno ⇒ f(x)\to -\infty.
  • Em x\to-1^{-}: (x+1)<0 pequeno, (x-2)<0, logo D(x)>0 pequeno ⇒ f(x)\to +\infty.
Portanto existem assíntotas verticais em
x=2\quad\text{e}\quad x=-1.

Passo 3

Agora vamos às ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS.
Conceito prático: uma assíntota horizontal y=L existe se
\lim_{x\to+\infty}f(x)=L\quad\text{ou}\quad \lim_{x\to-\infty}f(x)=L
(com L finito). Para funções racionais costuma-se comparar os graus (polinômios) do numerador e do denominador:
  • Se \deg(N)<\deg(D) então y=0 é assíntota horizontal.
  • Se \deg(N)=\deg(D) então existe assíntota horizontal y= razão dos coeficientes líderes.
  • Se \deg(N)>\deg(D) então não há assíntota horizontal (a função geralmente tende a \pm\infty); nesse caso, às vezes aparece uma assentota oblíqua/linear.
Aqui \deg(N)=3 e \deg(D)=2, logo \deg(N)>\deg(D). Assim não existe assíntota horizontal (nem para +\infty nem para -\infty).
Para tornar isso explícito, podemos observar o comportamento dominante: para x grande,
f(x)\approx\frac{x^{3}}{x^{2}}=x,
logo f(x)\to+\infty quando x\to+\infty e f(x)\to-\infty quando x\to-\infty. Portanto não há limite finito quando x\to\pm\infty, quer dizer: não há assíntota horizontal.

Passo 4

Observação útil (não pedida, mas que ajuda na intuição e pode cair em prova): quando \deg(N)=\deg(D)+1 costuma existir uma assíntota oblíqua (reta do tipo y=ax+b). Aqui \deg(N)=3 e \deg(D)=2, então podemos achar essa reta fazendo a divisão de polinômios.
Dividindo N(x) por D(x):
\frac{x^{3}+4x^{2}+x+2}{x^{2}-x-2}=x+5+\frac{8x+12}{x^{2}-x-2}.
Explicação rápida do resultado: o quociente é x+5 e o resto é 8x+12. Como o resto tem grau menor que o denominador, o termo \dfrac{8x+12}{x^{2}-x-2} tende a 0 quando x\to\pm\infty. Assim
\lim_{x\to\pm\infty}\left(f(x)-(x+5)\right)=0,
ou seja a reta y=x+5 é a assíntota oblíqua (slant). Isso confirma também que não há assíntota horizontal: a aproximação é por uma reta inclinada, não por uma constante.

Resposta

Assíntotas horizontais: não existem.
Assíntotas verticais: x=2 e x=-1.

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