Determine para quais valores das constantes
Passo 1
O enunciado dá a função por partes
e pede: para quais valores das constantes
a função
é contínua.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é dada por duas expressões diferentes em torno de
: uma para e outra para . - A constante
aparece no enunciado como parâmetro pedido, mas NÃO aparece em nenhuma das fórmulas de (isto é, a e não está presente nas expressões dadas). - A constante
aparece explicitamente nas duas expressões que definem .
O que o enunciado pede:
- Determinar todos os valores de
e para os quais é contínua em todo o domínio (isto é, em toda a reta real).]
Passo 2
Lembrete didático (conceito que vamos usar): definição de continuidade num ponto.
Uma função
é contínua em um ponto
se e somente se
No caso de uma função definida por partes, para garantir continuidade em um ponto onde a definição muda (aqui em
) é necessário:
- que o limite à esquerda em
exista e seja igual ao valor , e - que o limite à direita em
exista e seja igual ao mesmo valor.
Formalmente:
Observação prática: polinômios (como
e
) são contínuos em todos os pontos. Assim, qualquer possível descontinuidade só pode ocorrer no ponto onde trocamos a definição, isto é, em
. Em qualquer outro
cada ramo é contínuo, logo
é contínua fora de
.
Passo 3
Calculando
(valor da função no ponto crítico): como o caso para
inclui
, usamos a primeira expressão.
Isso é o valor que a função deve assumir e que os limites lateral à direita e à esquerda devem igualar para continuidade.
Passo 4
Calculando o limite à esquerda quando
: aproximando por valores menores que
, usamos o ramo
. Como esse ramo é um polinômio, o limite é simplesmente a substituição
:
Repare que este limite coincide com
por construção (bom sinal: o ramo à esquerda já é contínuo em
).
Passo 5
Calculando o limite à direita quando
: aproximando por valores maiores que
, usamos o ramo
. Novamente, é um polinômio em
(com coeficiente que depende de
), então o limite é a substituição
:
Passo 6
Impor continuidade em
: precisamos que os dois limites laterais coincidam com
. Já vimos que a igualdade esquerda dá
. Portanto exigimos
Agora resolvemos essa equação para
.
Passo 7
Resolvendo a equação passo a passo (aqui faço uma aula rápida de álgebra):
Começo simplificando a equação cancelando de ambos os lados:
Começo simplificando a equação cancelando
Levo tudo para um lado:
Fatoro o fator comum
:
Pelo produto igual a zero, cada fator pode ser zero, então as soluções são
Explicação curta do passo de fatoração: tirar
em evidência reduz um polinômio de grau 2 para dois fatores lineares; esta é a técnica padrão para resolver quadráticas quando o termo constante é zero.
Passo 8
Conclusão sobre
e
:
- Para
ou os limites lateral à esquerda e à direita em coincidem com , logo é contínua em . Como já lembrado, em qualquer cada ramo é polinomial e, portanto, contínuo; assim a continuidade em todo ocorre exatamente para esses valores de . - A constante
não aparece na definição da função; portanto não exerce nenhuma restrição: qualquer é aceitável.