Determine para quais valores das constantes \mathbf{a}, \mathbf{b} \in \mathbb{R}\) a função \(f\) definida em cada item abaixo é contínua. \(f(x)= \begin{cases}x^{2}+\mathbf{b} x, & \text { se } x \leq 2 \\\ \mathbf{b}^{2} x^{2}+4, & \text { se } x>2\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases} x^{2}+\mathbf{b}x, & \text{se } x\le 2,\\[4pt] \mathbf{b}^{2}x^{2}+4, & \text{se } x>2, \end{cases}
e pede: para quais valores das constantes \mathbf{a},\mathbf{b}\in\mathbb{R} a função f é contínua.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é dada por duas expressões diferentes em torno de x=2: uma para x\le 2 e outra para x>2.
  • A constante \mathbf{a} aparece no enunciado como parâmetro pedido, mas NÃO aparece em nenhuma das fórmulas de f (isto é, a e não está presente nas expressões dadas).
  • A constante \mathbf{b} aparece explicitamente nas duas expressões que definem f.
O que o enunciado pede:
  • Determinar todos os valores de \mathbf{a} e \mathbf{b} para os quais f é contínua em todo o domínio (isto é, em toda a reta real).]

Passo 2

Lembrete didático (conceito que vamos usar): definição de continuidade num ponto.
Uma função f é contínua em um ponto c se e somente se
\lim_{x\to c} f(x)=f\text{(c)}.
No caso de uma função definida por partes, para garantir continuidade em um ponto onde a definição muda (aqui em x=2) é necessário:
  • que o limite à esquerda em 2 exista e seja igual ao valor f(2), e
  • que o limite à direita em 2 exista e seja igual ao mesmo valor.
    Formalmente:
\lim_{x\to 2^-} f(x)=\lim_{x\to 2^+} f(x)=f(2).
Observação prática: polinômios (como x^2+\mathbf{b}x e \mathbf{b}^2 x^2+4) são contínuos em todos os pontos. Assim, qualquer possível descontinuidade só pode ocorrer no ponto onde trocamos a definição, isto é, em x=2. Em qualquer outro x\neq2 cada ramo é contínuo, logo f é contínua fora de x=2.

Passo 3

Calculando f(2) (valor da função no ponto crítico): como o caso para x\le 2 inclui x=2, usamos a primeira expressão.
f(2)=2^{2}+\mathbf{b}\cdot 2 = 4+2\mathbf{b}.
Isso é o valor que a função deve assumir e que os limites lateral à direita e à esquerda devem igualar para continuidade.

Passo 4

Calculando o limite à esquerda quando x\to2^-: aproximando por valores menores que 2, usamos o ramo x^{2}+\mathbf{b}x. Como esse ramo é um polinômio, o limite é simplesmente a substituição x=2:
\lim_{x\to 2^-} f(x)=\lim_{x\to 2^-} \big(x^{2}+\mathbf{b}x\big)=2^{2}+\mathbf{b}\cdot 2=4+2\mathbf{b}.
Repare que este limite coincide com f(2) por construção (bom sinal: o ramo à esquerda já é contínuo em 2).

Passo 5

Calculando o limite à direita quando x\to2^+: aproximando por valores maiores que 2, usamos o ramo \mathbf{b}^{2}x^{2}+4. Novamente, é um polinômio em x (com coeficiente que depende de \mathbf{b}), então o limite é a substituição x=2:
\lim_{x\to 2^+} f(x)=\lim_{x\to 2^+} \big(\mathbf{b}^{2}x^{2}+4\big)=\mathbf{b}^{2}\cdot 2^{2}+4=4\mathbf{b}^{2}+4.

Passo 6

Impor continuidade em x=2: precisamos que os dois limites laterais coincidam com f(2). Já vimos que a igualdade esquerda dá 4+2\mathbf{b}. Portanto exigimos
4+2\mathbf{b}=4\mathbf{b}^{2}+4.
Agora resolvemos essa equação para \mathbf{b}.

Passo 7

Resolvendo a equação passo a passo (aqui faço uma aula rápida de álgebra):
Começo simplificando a equação cancelando 4 de ambos os lados:
4+2\mathbf{b}=4\mathbf{b}^{2}+4 \quad\Longrightarrow\quad 2\mathbf{b}=4\mathbf{b}^{2}.
Levo tudo para um lado:
4\mathbf{b}^{2}-2\mathbf{b}=0.
Fatoro o fator comum \mathbf{b}:
2\mathbf{b}(2\mathbf{b}-1)=0.
Pelo produto igual a zero, cada fator pode ser zero, então as soluções são
\mathbf{b}=0 \quad\text{ou}\quad 2\mathbf{b}-1=0\Rightarrow \mathbf{b}=\tfrac{1}{2}.
Explicação curta do passo de fatoração: tirar \mathbf{b} em evidência reduz um polinômio de grau 2 para dois fatores lineares; esta é a técnica padrão para resolver quadráticas quando o termo constante é zero.

Passo 8

Conclusão sobre \mathbf{b} e \mathbf{a}:
  • Para \mathbf{b}=0 ou \mathbf{b}=\tfrac{1}{2} os limites lateral à esquerda e à direita em x=2 coincidem com f(2), logo f é contínua em 2. Como já lembrado, em qualquer x\neq2 cada ramo é polinomial e, portanto, contínuo; assim a continuidade em todo \mathbb{R} ocorre exatamente para esses valores de \mathbf{b}.
  • A constante \mathbf{a} não aparece na definição da função; portanto não exerce nenhuma restrição: qualquer \mathbf{a}\in\mathbb{R} é aceitável.

Resposta

\mathbf{a}\in\mathbb{R}
\mathbf{b}\in\{0,\tfrac{1}{2}\}

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