Calcule as integrais definidas abaixo:
\int_{-2}^{-1}\left(\frac{1}{x^{2}}+x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-2}^{-1}\left(\frac{1}{x^{2}}+x\right)\,dx.
Informações relevantes fornecidas:
  • O intervalo de integração é [-2,-1].
  • A função integrada é a soma de duas parcelas: \dfrac{1}{x^{2}} e x.
  • Não há descontinuidade na região de integração (porque x não é zero em [-2,-1]), então a integral é própria e pode ser calculada normalmente.
    O objetivo é obter o valor numérico dessa integral.

Passo 2

Usarei a linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais. Ou seja,
\int_{-2}^{-1}\left(\frac{1}{x^{2}}+x\right)\,dx = \int_{-2}^{-1}\frac{1}{x^{2}}\,dx + \int_{-2}^{-1}x\,dx.
Isto permite tratar cada parcela separadamente. Será preciso encontrar uma primitiva (antiderivada) de cada parcela e então aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 3

Encontrar uma primitiva de \dfrac{1}{x^{2}}.
  • Reescrevendo, \dfrac{1}{x^{2}}=x^{-2}.
  • Usamos a regra da potência: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é constante de integração. Aqui n=-2, então
\int x^{-2}\,dx=\frac{x^{-2+1}}{-2+1}+C=\frac{x^{-1}}{-1}+C=-x^{-1}+C.
  • Em notação mais familiar, a primitiva é -\dfrac{1}{x}+C.
    (Verificação rápida: \dfrac{d}{dx}\big(-1/x\big)=1/x^{2}, ok.)

Passo 4

Encontrar uma primitiva de x.
  • Aplicando novamente a regra da potência com n=1,
\int x\,dx=\int x^{1}\,dx=\frac{x^{1+1}}{1+1}+C=\frac{x^{2}}{2}+C.

Passo 5

Juntando as primitivas, uma antiderivada para a função inteira é
F(x)=-\frac{1}{x}+\frac{x^{2}}{2}.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{-2}^{-1}\left(\frac{1}{x^{2}}+x\right)\,dx=F(-1)-F(-2).
Calculo dos valores:
F(-1)=-\frac{1}{-1}+\frac{(-1)^{2}}{2}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2},
F(-2)=-\frac{1}{-2}+\frac{(-2)^{2}}{2}=\frac{1}{2}+\frac{4}{2}=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}.
Portanto
F(-1)-F(-2)=\frac{3}{2}-\frac{5}{2}.

Passo 6

Simplificando a diferença obtém-se o valor final da integral (resultado apresentado apenas na seção de resposta, conforme pedido).

Resposta

-1

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