Q.3: Calcule as ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS e ASSÍNTOTAS VERTICAIS da função abaixo, se existirem. Caso não existam, justifique sua resposta. f(x)=\frac{x^{2}-9}{2 x^{2}-36}
Passo 1
O enunciado fornece a função racional
f(x)=\frac{x^{2}-9}{2x^{2}-36}
e pede para calcular as ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS e as ASSÍNTOTAS VERTICAIS, se existirem.
Informações dadas e o que é pedido:
Dado: a expressão analítica de f(x) acima.
Pedidos:
Determinar as assíntotas verticais (valores de x onde f(x) tende a \pm\infty ou onde a função não está definida por divisão por zero — quando existir).
Determinar as assíntotas horizontais (retas y=L tal que \lim_{x\to\infty} f(x)=L ou \lim_{x\to-\infty} f(x)=L).
Observação importante do enunciado: não há figura, só a função algébrica.
Passo 2
Conceito e método para achar assíntotas verticais (explicação didática):
Uma assíntota vertical em x=a ocorre quando o denominador da função racional fica zero em x=a enquanto o numerador não zera ao mesmo tempo (ou seja, não há cancelamento que gere um buraco). Nesses casos tipicamente \lim_{x\to a^\pm} f(x)=\pm\infty.
Passo prático: resolver a equação denominador =0 e verificar se o numerador é diferente de zero nesses pontos (se for zero também, pode ser um ponto removível, não uma assíntota vertical).
Vamos aplicar isso à nossa função.
Passo 3
Encontrar zeros do denominador e checar o numerador:
Como o denominador zera em x=\pm 3\sqrt{2} e o numerador é diferente de zero nesses pontos, não há cancelamento; portanto existem assíntotas verticais em x=\pm 3\sqrt{2}.
Passo 4
Conceito e método para achar assíntota horizontal (explicação didática):
Para uma função racional \dfrac{P(x)}{Q(x)}, comparar os graus (deg) dos polinômios P e Q:
Se \deg P < \deg Q então a assíntota horizontal é y=0.
Se \deg P = \deg Q então a assíntota horizontal é y= razão dos coeficientes líderes (coeficiente de maior grau).
Se \deg P > \deg Q então não há assíntota horizontal (pode haver oblíqua se \deg P = \deg Q + 1).
Aqui \deg P=\deg Q=2. Então a assíntota horizontal será a razão dos coeficientes dos termos x^{2}.
Passo 5
Calcular a razão dos coeficientes líderes (aplicar o método acima):
Coeficiente líder do numerador x^{2}-9 é 1.
Coeficiente líder do denominador 2x^{2}-36 é 2.
Portanto
\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=\frac{1}{2},
e a assíntota horizontal é y=\dfrac{1}{2}.
(Método alternativo de confirmação: dividir numerador e denominador por x^2 e tomar limite x\to\infty ou x\to-\infty:
Análise do comportamento perto das assíntotas verticais (opcional mas útil para a prova — sinais das limitações laterais):
Escrevendo a função fatorada em termos de x^{2}:
f(x)=\frac{x^{2}-9}{2(x^{2}-18)}.
Note que para x próximo de \pm 3\sqrt{2} o numerador x^{2}-9 é aproximadamente 9 (positivo), enquanto o sinal do denominador depende do sinal de x^{2}-18:
Em x=3\sqrt{2}:
Para x\to(3\sqrt{2})^{-} temos x^{2}<18\Rightarrow x^{2}-18<0 então denomínio \to 0^{-}, numerador >0 ⇒ f(x)\to -\infty.
Para x\to(3\sqrt{2})^{+} temos x^{2}>18\Rightarrow x^{2}-18>0 então denomínio \to 0^{+}, numerador >0 ⇒ f(x)\to +\infty.
Em x=-3\sqrt{2}:
Para x\to(-3\sqrt{2})^{-} (valores mais negativos) temos x^{2}>18\Rightarrow x^{2}-18>0 ⇒ denomínio \to 0^{+} e numerador >0 ⇒ f(x)\to +\infty.
Para x\to(-3\sqrt{2})^{+} (valores menos negativos) temos x^{2}<18\Rightarrow x^{2}-18<0 ⇒ denomínio \to 0^{-} e numerador >0 ⇒ f(x)\to -\infty.
Isso confirma o comportamento de sinais das assíntotas verticais.