Q.4: Considerando as funções definidas nos itens abaixo
(a)
(b)
(c)
(d)
responda os seguintes itens
(i) Dertermine o domínio e estude o conjunto solução da função
.
(ii) Dertermine, se possível, as intersecções da
com os eixos
e
.
(iii) Calcule as ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS e ASSÍNTOTAS VERTICAIS da função
, se existirem. Caso não existam, justifique sua resposta.
(iv) Esboce o gráfico da função
incluindo, ao menos, as informações obtidas nos itens anteriores.
(a)
(b)
(c)
(d)
responda os seguintes itens
(i) Dertermine o domínio e estude o conjunto solução da função
(ii) Dertermine, se possível, as intersecções da
(iii) Calcule as ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS e ASSÍNTOTAS VERTICAIS da função
(iv) Esboce o gráfico da função
Passo 1
O enunciado pede, para cada uma das funções abaixo, que se determine (i) o domínio e que se estude o “conjunto solução” da função
, (ii) as interseções com os eixos
e
, (iii) as assíntotas horizontais e verticais (quando existirem) e (iv) um esboço do gráfico usando as informações anteriores.
As funções são:
(a)
(b)
(c)
(d) .
(a)
(b)
(c)
(d)
Observação importante (ambiguidade no enunciado): a expressão “estude o conjunto solução da função
” pode ser entendida de duas maneiras (por exemplo, conjunto solução da equação
ou conjunto imagem/contradomínio da função). Vou interpretar aqui que o pedido é para estudar o conjunto imagem (o conjunto de valores
efetivamente assumidos por
), porque isso complementa naturalmente o estudo de assíntotas e interceptos. Se o professor quisesse apenas os zeros, isso aparece em (ii) como interseções com o eixo
. Vou explicar explicitamente como determinar a imagem em cada caso.
Passo 2
Antes de partir para cada função, uma “caixinha de ferramentas” com os conceitos que vou usar, explicados passo a passo:
-
Domínio: para uma expressão racional
o domínio é menos os zeros de , porque divisão por zero não existe. Se um fator de cancelar com fator idêntico em , aí o ainda fica fora do domínio (buraco removível), pois a expressão original não está definida naquele ponto. -
Simplificação / buracos removíveis: se
e têm um fator comum , então ao simplificar esse fator obtemos uma expressão equivalente para , mas a função original continua indefinida em : isso é um ponto de descontinuidade removível (um “buraco”) — limite existe, mas valor não está definido. -
Interseção com o eixo
(zeros de ): resolver equivale a resolver e verificar se essas raízes pertencem ao domínio (ou seja, não são canceladas por denominação ou não são valores proibidos). -
Interseção com o eixo
: é apenas , desde que esteja no domínio. -
Assíntota vertical: se
anula o denominador e o numerador não anula (ou seja, o fator não cancela), então normalmente existe assíntota vertical em . Um teste prático: analisar para ver se diverge para . -
Assíntota horizontal: comparar os graus (grau) do numerador e do denominador.
- Se grau(num) < grau(den) então a assíntota horizontal é
. - Se grau(num) = grau(den) então a assíntota horizontal é
razão dos coeficientes líderes. - Se grau(num) > grau(den) então não há assíntota horizontal; às vezes há uma oblíqua (quando diferença de graus é exatamente 1) ou comportamento polinomial se, depois de simplificar, a função for um polinômio (como no caso de um fator cancelado deixando um polinômio).
- Se grau(num) < grau(den) então a assíntota horizontal é
-
Determinar a imagem (conjunto de valores
): técnica prática para racionais com mesmos graus: - Resolver a equação
como equação em . Para cada ver se há solução no domínio. Muitas vezes, se grau(num)=grau(den) e a equação para reduz a uma contradição, então esse não pertence à imagem (isso acontece tipicamente para igual à razão dos coeficientes líderes). Vou aplicar isso caso a caso.
- Resolver a equação
Agora aplico tudo isso às quatro funções, com passos detalhados.
Passo 3
A função é
.
Fatoro o numerador pelo cubo notável:
Logo, para
,
Domínio: o denominador original é zero em
, portanto o domínio é
Observação: a expressão simplificada é um polinômio
, mas o ponto
permanece excluído — isso é um buraco removível.
Passo 4
Zeros / interseção com o eixo
: resolver
dá
. Mas
não pertence ao domínio, então NÃO há interseção com o eixo
. Em palavras: numerador zero só em
que é proibido, então nenhum zero válido.
Interseção com o eixo
:
. Então há interseção em
.
Assíntotas verticais: não existem, porque o fator
cancelou; não há outro zero do denominador. Em vez disso, existe um buraco (ponto de descontinuidade removível) em
. O limite quando
é
Então há um buraco em
.
Assíntotas horizontais/obliquas: como a função simplificada é um polinômio de grau
, não existe assíntota horizontal nem oblíqua: para
,
. Ou dito de outro modo, o comportamento é o de uma parábola
.
Imagem (conjunto dos valores de
): a função coincide com o polinômio
para todo
. Esse polinômio é uma parábola com coeficiente líder positivo; seu vértice dá o mínimo. O vértice está em
O valor mínimo é
Como a parábola atinge
em
e assume todos os valores maiores que isso, a imagem é
Importante: embora haja um buraco em
, o valor
permanece na imagem porque é assumido em
(de fato
). Portanto o buraco em
não remove
da imagem.
Esboço: é a parábola
deslocada verticalmente, com vértice em
, interseção com
em
, e com um buraco marcado em
. Não há assíntotas.
Passo 5
A função é
.
Fatorando:
Não há fatores comuns; então não há cancelamento.
Domínio: excluir zeros do denominador
, portanto
Passo 6
Zeros / interseção com o eixo
: resolver
dá
. Esses valores não anulam o denominador, logo estão no domínio. Então há interseções com o eixo
em
e
.
Interseção com o eixo
:
. Então interseção em
.
Assíntotas verticais: como os fatores do denominador não cancelaram, há assíntotas verticais em
e
. Para entender o sinal (comportamento lateral), é útil checar o sinal do numerador e denominador próximos aos polos:
- Em
: numerador . Para , e então denomínio positivo pequeno . Para , denomínio negativo pequeno . - Em
: numerador . Para tem-se denomínio negativo pequeno ; para denomínio positivo pequeno .
Assíntota horizontal: graus do numerador e denominador são iguais (2 e 2). Então a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes líderes, aqui ambos 1, portanto
é assíntota horizontal. Verificação adicional: resolver
leva a
contradição — portanto
nunca é assumido pela função; isso confirma que
está fora da imagem.
Imagem (conjunto de valores): usando o argumento acima: para
a equação não tem solução, logo
não pertence à imagem. Pelo comportamento com as assíntotas verticais (tendendo a
) e continuidade nos intervalos do domínio, a função assume todos os outros valores reais. Assim
Esboço: gráfico com duas assimptotas verticais
e
, assíntota horizontal
, zeros em
e ponto em
. Entre as assimptotas e nas regiões exteriores o gráfico tende a
conforme
, e diverge para
ao se aproximar dos polos, com sinais conforme analisado.
Passo 7
A função é
.
Fatorando:
Não há cancelamento.
Domínio: excluir
, logo
Passo 8
Zeros / interseção com o eixo
: zeros quando
. Esses pontos estão no domínio, então interseções em
e
.
Interseção com o eixo
:
. Logo
.
Assíntotas verticais: em
e
, porque denominador zera sem cancelamento. Comportamento lateral (sinal):
- Em
: numerador . Para o denominador é pequeno e positivo ; para denomínio pequeno negativo . - Em
: numerador também positivo . Para denomínio pequeno negativo ; para denomínio positivo pequeno .
Assíntota horizontal: graus iguais (2 e 2) e coeficientes líderes ambos 1, então assíntota horizontal
Verificação: resolver
dá contradição como no caso (b), então
não é atingido.
Imagem: pela mesma razão dos casos anteriores (graus iguais e contradicção para
), temos
Esboço: duas assimptotas verticais em
, assimptota horizontal
, zeros em
e
-intercept em
. Para grandes
,
.
Passo 9
A função é
.
Fatorando:
Não há cancelamento de fatores
com os do denominador.
Domínio: excluir
, então
Passo 10
Zeros / interseção com o eixo
: zeros quando
, que estão no domínio. Logo interseções em
e
.
Interseção com o eixo
:
. Logo
.
Assíntotas verticais: como denominador zera em
sem cancelamento, há assíntotas verticais em
e
. Comportamento lateral (sinal):
- Em
: numerador . Para denomínio positivo pequeno ; para denomínio negativo pequeno . - Em
: numerador . Para denomínio negativo pequeno ; para denomínio positivo pequeno .
Assíntota horizontal: graus do numerador e denominador são iguais (2 e 2); razão dos coeficientes líderes é
. Logo
é assíntota horizontal. Verificando: resolver
dá
contradição; portanto
não é atingido — o que confirma que está fora da imagem.
Imagem: pela mesma razão, a função assume todos os reais exceto
. Então
Esboço: duas assimptotas verticais em
, assíntota horizontal
, zeros em
,
-intercept em
. Para grandes
,
. Próximo às assimptotas, o gráfico diverge conforme o sinal estudado.
Passo 11
- Fatore sempre numerador e denominador. Procure cancelamentos que geram buracos.
- Identifique zeros do denominador (assíntotas verticais) e zeros do numerador (interseções com o eixo
), sempre checando se pertencem ao domínio. - Compare graus para achar assíntota horizontal (ou calcular divisão de polinômios para assíntota oblíqua).
- Para a imagem de racionais com mesmo grau, tente resolver
e ver se a equação dá contradição para algum (isso identifica valores excluídos). - Marque alguns pontos (pelo menos
-intercept, zeros, e limites perto das assimptotas) e trace curvas que respeitem os sinais e limites laterais.
Resposta
(a) (i) Domínio:
. Imagem:
.
(a) (ii) Interseção com o eixo : nenhuma. Interseção com o eixo
:
.
(a) (iii) Assíntotas verticais: nenhuma (há um buraco removível em com
). Assíntotas horizontais: nenhuma (comportamento polinomial
).
(a) (iv) Esboço: parábola definida para todo
, vértice em
, buraco em
,
-intercept
.
(a) (ii) Interseção com o eixo
(a) (iii) Assíntotas verticais: nenhuma (há um buraco removível em
(a) (iv) Esboço: parábola
(b) (i) Domínio:
. Imagem:
.
(b) (ii) Interseções: com o eixo em
e
. Com o eixo
:
.
(b) (iii) Assíntotas verticais: e
. Assíntota horizontal:
.
(b) (iv) Esboço: ramos com assíntotas verticais em , assíntota horizontal
, zeros em
,
-intercept
, comportamento lateral conforme discutido.
(b) (ii) Interseções: com o eixo
(b) (iii) Assíntotas verticais:
(b) (iv) Esboço: ramos com assíntotas verticais em
(c) (i) Domínio:
. Imagem:
.
(c) (ii) Interseções: com o eixo em
e
. Com o eixo
:
.
(c) (iii) Assíntotas verticais: e
. Assíntota horizontal:
.
(c) (iv) Esboço: ramos com assíntotas verticais em , assíntota horizontal
, zeros em
,
-intercept
.
(c) (ii) Interseções: com o eixo
(c) (iii) Assíntotas verticais:
(c) (iv) Esboço: ramos com assíntotas verticais em
(d) (i) Domínio:
. Imagem:
.
(d) (ii) Interseções: com o eixo em
e
. Com o eixo
:
.
(d) (iii) Assíntotas verticais: e
. Assíntota horizontal:
.
(d) (iv) Esboço: ramos com assíntotas verticais em , assíntota horizontal
, zeros em
,
-intercept
.
(d) (ii) Interseções: com o eixo
(d) (iii) Assíntotas verticais:
(d) (iv) Esboço: ramos com assíntotas verticais em