Q.4: Considerando as funções definidas nos itens abaixo
(a) f(x)=\frac{x^{3}-27}{x-3}
(b) f(x)=\frac{x^{2}-9}{x^{2}-4}
(c) f(x)=\frac{x^{2}-16}{x^{2}-25}
(d) f(x)=\frac{x^{2}-9}{2 x^{2}-32}
responda os seguintes itens
(i) Dertermine o domínio e estude o conjunto solução da função f(x).
(ii) Dertermine, se possível, as intersecções da f(x) com os eixos x e y.
(iii) Calcule as ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS e ASSÍNTOTAS VERTICAIS da função f(x), se existirem. Caso não existam, justifique sua resposta.
(iv) Esboce o gráfico da função f(x) incluindo, ao menos, as informações obtidas nos itens anteriores.

Passo 1

O enunciado pede, para cada uma das funções abaixo, que se determine (i) o domínio e que se estude o “conjunto solução” da função f(x), (ii) as interseções com os eixos x e y, (iii) as assíntotas horizontais e verticais (quando existirem) e (iv) um esboço do gráfico usando as informações anteriores.
As funções são:
(a) \displaystyle f(x)=\frac{x^{3}-27}{x-3}
(b) \displaystyle f(x)=\frac{x^{2}-9}{x^{2}-4}
(c) \displaystyle f(x)=\frac{x^{2}-16}{x^{2}-25}
(d) \displaystyle f(x)=\frac{x^{2}-9}{2x^{2}-32}.
Observação importante (ambiguidade no enunciado): a expressão “estude o conjunto solução da função f(x)” pode ser entendida de duas maneiras (por exemplo, conjunto solução da equação f(x)=0 ou conjunto imagem/contradomínio da função). Vou interpretar aqui que o pedido é para estudar o conjunto imagem (o conjunto de valores y efetivamente assumidos por f), porque isso complementa naturalmente o estudo de assíntotas e interceptos. Se o professor quisesse apenas os zeros, isso aparece em (ii) como interseções com o eixo x. Vou explicar explicitamente como determinar a imagem em cada caso.

Passo 2

Antes de partir para cada função, uma “caixinha de ferramentas” com os conceitos que vou usar, explicados passo a passo:
  • Domínio: para uma expressão racional \dfrac{P(x)}{Q(x)} o domínio é \mathbb{R} menos os zeros de Q(x), porque divisão por zero não existe. Se um fator de Q(x) cancelar com fator idêntico em P(x), aí o x ainda fica fora do domínio (buraco removível), pois a expressão original não está definida naquele ponto.
  • Simplificação / buracos removíveis: se P(x) e Q(x) têm um fator comum (x-a), então ao simplificar esse fator obtemos uma expressão equivalente para x\neq a, mas a função original continua indefinida em x=a: isso é um ponto de descontinuidade removível (um “buraco”) — limite existe, mas valor não está definido.
  • Interseção com o eixo x (zeros de f): resolver f(x)=0 equivale a resolver P(x)=0 e verificar se essas raízes pertencem ao domínio (ou seja, não são canceladas por denominação ou não são valores proibidos).
  • Interseção com o eixo y: é apenas f(0), desde que 0 esteja no domínio.
  • Assíntota vertical: se x=a anula o denominador e o numerador não anula (ou seja, o fator não cancela), então normalmente existe assíntota vertical em x=a. Um teste prático: analisar \lim_{x\to a^{\pm}} f(x) para ver se diverge para \pm\infty.
  • Assíntota horizontal: comparar os graus (grau) do numerador e do denominador.
    • Se grau(num) < grau(den) então a assíntota horizontal é y=0.
    • Se grau(num) = grau(den) então a assíntota horizontal é y= razão dos coeficientes líderes.
    • Se grau(num) > grau(den) então não há assíntota horizontal; às vezes há uma oblíqua (quando diferença de graus é exatamente 1) ou comportamento polinomial se, depois de simplificar, a função for um polinômio (como no caso de um fator cancelado deixando um polinômio).
  • Determinar a imagem (conjunto de valores y): técnica prática para racionais com mesmos graus:
    • Resolver a equação \dfrac{P(x)}{Q(x)}=y como equação em x. Para cada y ver se há solução x no domínio. Muitas vezes, se grau(num)=grau(den) e a equação para y reduz a uma contradição, então esse y não pertence à imagem (isso acontece tipicamente para y igual à razão dos coeficientes líderes). Vou aplicar isso caso a caso.
Agora aplico tudo isso às quatro funções, com passos detalhados.

Passo 3

A função é \displaystyle f(x)=\frac{x^{3}-27}{x-3}.
Fatoro o numerador pelo cubo notável:
x^{3}-27=(x-3)(x^{2}+3x+9).
Logo, para x\neq 3,
f(x)=\frac{(x-3)(x^{2}+3x+9)}{x-3}=x^{2}+3x+9.
Domínio: o denominador original é zero em x=3, portanto o domínio é
\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{3\}.
Observação: a expressão simplificada é um polinômio x^{2}+3x+9, mas o ponto x=3 permanece excluído — isso é um buraco removível.

Passo 4

Zeros / interseção com o eixo x: resolver x^{3}-27=0 x=3. Mas x=3 não pertence ao domínio, então NÃO há interseção com o eixo x. Em palavras: numerador zero só em x=3 que é proibido, então nenhum zero válido.
Interseção com o eixo y: f(0)=\dfrac{-27}{-3}=9. Então há interseção em (0,9).
Assíntotas verticais: não existem, porque o fator (x-3) cancelou; não há outro zero do denominador. Em vez disso, existe um buraco (ponto de descontinuidade removível) em x=3. O limite quando x\to3 é
\lim_{x\to3} f(x)=\lim_{x\to3} (x^{2}+3x+9)=3^{2}+3\cdot3+9=27.
Então há um buraco em (3,27).
Assíntotas horizontais/obliquas: como a função simplificada é um polinômio de grau 2, não existe assíntota horizontal nem oblíqua: para |x|\to\infty, f(x)\to\infty. Ou dito de outro modo, o comportamento é o de uma parábola y=x^{2}+3x+9.
Imagem (conjunto dos valores de f): a função coincide com o polinômio x^{2}+3x+9 para todo x\neq 3. Esse polinômio é uma parábola com coeficiente líder positivo; seu vértice dá o mínimo. O vértice está em
x_v=-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2}=-1{,}5.
O valor mínimo é
y_v = (-1{,}5)^{2}+3(-1{,}5)+9 = 2{,}25-4{,}5+9=6{,}75=\frac{27}{4}.
Como a parábola atinge y=\tfrac{27}{4} em x=-\tfrac{3}{2} e assume todos os valores maiores que isso, a imagem é
\text{Im}(f)=\Big[\tfrac{27}{4},\infty\Big).
Importante: embora haja um buraco em (3,27), o valor 27 permanece na imagem porque é assumido em x=-6 (de fato (-6)^2+3(-6)+9=27). Portanto o buraco em x=3 não remove 27 da imagem.
Esboço: é a parábola y=x^{2}+3x+9 deslocada verticalmente, com vértice em \big(-\tfrac{3}{2},\tfrac{27}{4}\big), interseção com y em (0,9), e com um buraco marcado em (3,27). Não há assíntotas.

Passo 5

A função é \displaystyle f(x)=\frac{x^{2}-9}{x^{2}-4}.
Fatorando:
x^{2}-9=(x-3)(x+3),\qquad x^{2}-4=(x-2)(x+2).
Não há fatores comuns; então não há cancelamento.
Domínio: excluir zeros do denominador x=\pm 2, portanto
\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}.

Passo 6

Zeros / interseção com o eixo x: resolver x^{2}-9=0 x=\pm 3. Esses valores não anulam o denominador, logo estão no domínio. Então há interseções com o eixo x em (-3,0) e (3,0).
Interseção com o eixo y: f(0)=\dfrac{-9}{-4}=\dfrac{9}{4}=2{,}25. Então interseção em (0,\tfrac{9}{4}).
Assíntotas verticais: como os fatores do denominador não cancelaram, há assíntotas verticais em x=2 e x=-2. Para entender o sinal (comportamento lateral), é útil checar o sinal do numerador e denominador próximos aos polos:
  • Em x=2: numerador 2^{2}-9=-5<0. Para x\to 2^{+}, x-2>0 e x+2>0 então denomínio positivo pequeno \Rightarrow f(x)\to -\infty. Para x\to 2^{-}, denomínio negativo pequeno \Rightarrow f(x)\to +\infty.
  • Em x=-2: numerador (-2)^{2}-9=-5<0. Para x\to -2^{+} tem-se denomínio negativo pequeno \Rightarrow f(x)\to +\infty; para x\to -2^{-} denomínio positivo pequeno \Rightarrow f(x)\to -\infty.
Assíntota horizontal: graus do numerador e denominador são iguais (2 e 2). Então a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes líderes, aqui ambos 1, portanto
y=1
é assíntota horizontal. Verificação adicional: resolver \dfrac{x^{2}-9}{x^{2}-4}=1 leva a
x^{2}-9 = x^{2}-4 \quad\Rightarrow\quad -9=-4,
contradição — portanto y=1 nunca é assumido pela função; isso confirma que y=1 está fora da imagem.
Imagem (conjunto de valores): usando o argumento acima: para y=1 a equação não tem solução, logo 1 não pertence à imagem. Pelo comportamento com as assíntotas verticais (tendendo a \pm\infty) e continuidade nos intervalos do domínio, a função assume todos os outros valores reais. Assim
\text{Im}(f)=\mathbb{R}\setminus\{1\}.
Esboço: gráfico com duas assimptotas verticais x=-2 e x=2, assíntota horizontal y=1, zeros em \pm 3 e ponto em (0,\tfrac{9}{4}). Entre as assimptotas e nas regiões exteriores o gráfico tende a y=1 conforme |x|\to\infty, e diverge para \pm\infty ao se aproximar dos polos, com sinais conforme analisado.

Passo 7

A função é \displaystyle f(x)=\frac{x^{2}-16}{x^{2}-25}.
Fatorando:
x^{2}-16=(x-4)(x+4),\qquad x^{2}-25=(x-5)(x+5).
Não há cancelamento.
Domínio: excluir x=\pm 5, logo
\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{-5,5\}.

Passo 8

Zeros / interseção com o eixo x: zeros quando x=\pm 4. Esses pontos estão no domínio, então interseções em (-4,0) e (4,0).
Interseção com o eixo y: f(0)=\dfrac{-16}{-25}=\dfrac{16}{25}=0{,}64. Logo (0,\tfrac{16}{25}).
Assíntotas verticais: em x=5 e x=-5, porque denominador zera sem cancelamento. Comportamento lateral (sinal):
  • Em x=5: numerador 5^{2}-16=9>0. Para x\to 5^{+} o denominador é pequeno e positivo \Rightarrow f\to +\infty; para x\to 5^{-} denomínio pequeno negativo \Rightarrow f\to -\infty.
  • Em x=-5: numerador também positivo >0. Para x\to -5^{+} denomínio pequeno negativo \Rightarrow f\to -\infty; para x\to -5^{-} denomínio positivo pequeno \Rightarrow f\to +\infty.
Assíntota horizontal: graus iguais (2 e 2) e coeficientes líderes ambos 1, então assíntota horizontal
y=1.
Verificação: resolver f(x)=1 dá contradição como no caso (b), então y=1 não é atingido.
Imagem: pela mesma razão dos casos anteriores (graus iguais e contradicção para y=1), temos
\text{Im}(f)=\mathbb{R}\setminus\{1\}.
Esboço: duas assimptotas verticais em \pm 5, assimptota horizontal y=1, zeros em \pm 4 e y-intercept em (0,\tfrac{16}{25}). Para grandes |x|, f(x)\to 1.

Passo 9

A função é \displaystyle f(x)=\frac{x^{2}-9}{2x^{2}-32}.
Fatorando:
x^{2}-9=(x-3)(x+3),\qquad 2x^{2}-32=2(x^{2}-16)=2(x-4)(x+4).
Não há cancelamento de fatores (x\pm 3) com os do denominador.
Domínio: excluir x=\pm 4, então
\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{-4,4\}.

Passo 10

Zeros / interseção com o eixo x: zeros quando x=\pm 3, que estão no domínio. Logo interseções em (-3,0) e (3,0).
Interseção com o eixo y: f(0)=\dfrac{-9}{-32}=\dfrac{9}{32}\approx 0{,}28125. Logo (0,\tfrac{9}{32}).
Assíntotas verticais: como denominador zera em \pm 4 sem cancelamento, há assíntotas verticais em x=-4 e x=4. Comportamento lateral (sinal):
  • Em x=4: numerador 4^{2}-9=7>0. Para x\to 4^{+} denomínio positivo pequeno \Rightarrow f\to +\infty; para x\to 4^{-} denomínio negativo pequeno \Rightarrow f\to -\infty.
  • Em x=-4: numerador >0. Para x\to -4^{+} denomínio negativo pequeno \Rightarrow f\to -\infty; para x\to -4^{-} denomínio positivo pequeno \Rightarrow f\to +\infty.
Assíntota horizontal: graus do numerador e denominador são iguais (2 e 2); razão dos coeficientes líderes é \dfrac{1}{2}. Logo
y=\tfrac{1}{2}
é assíntota horizontal. Verificando: resolver \dfrac{x^{2}-9}{2x^{2}-32}=\tfrac{1}{2}
2(x^{2}-9)=1\cdot(2x^{2}-32)\quad\Rightarrow\quad 2x^{2}-18=2x^{2}-32\quad\Rightarrow\quad -18=-32,
contradição; portanto y=\tfrac{1}{2} não é atingido — o que confirma que está fora da imagem.
Imagem: pela mesma razão, a função assume todos os reais exceto y=\tfrac{1}{2}. Então
\text{Im}(f)=\mathbb{R}\setminus\Big\{\tfrac{1}{2}\Big\}.
Esboço: duas assimptotas verticais em \pm 4, assíntota horizontal y=\tfrac{1}{2}, zeros em \pm 3, y-intercept em (0,\tfrac{9}{32}). Para grandes |x|, f(x)\to \tfrac{1}{2}. Próximo às assimptotas, o gráfico diverge conforme o sinal estudado.

Passo 11

  • Fatore sempre numerador e denominador. Procure cancelamentos que geram buracos.
  • Identifique zeros do denominador (assíntotas verticais) e zeros do numerador (interseções com o eixo x), sempre checando se pertencem ao domínio.
  • Compare graus para achar assíntota horizontal (ou calcular divisão de polinômios para assíntota oblíqua).
  • Para a imagem de racionais com mesmo grau, tente resolver f(x)=y e ver se a equação dá contradição para algum y (isso identifica valores excluídos).
  • Marque alguns pontos (pelo menos y-intercept, zeros, e limites perto das assimptotas) e trace curvas que respeitem os sinais e limites laterais.

Resposta

(a) (i) Domínio: \mathbb{R}\setminus\{3\}. Imagem: \displaystyle \left[\tfrac{27}{4},\infty\right).
(a) (ii) Interseção com o eixo x: nenhuma. Interseção com o eixo y: (0,9).
(a) (iii) Assíntotas verticais: nenhuma (há um buraco removível em x=3 com \lim_{x\to3}f(x)=27). Assíntotas horizontais: nenhuma (comportamento polinomial y=x^{2}+3x+9).
(a) (iv) Esboço: parábola y=x^{2}+3x+9 definida para todo x\neq3, vértice em \big(-\tfrac{3}{2},\tfrac{27}{4}\big), buraco em (3,27), y-intercept (0,9).
(b) (i) Domínio: \mathbb{R}\setminus\{-2,2\}. Imagem: \mathbb{R}\setminus\{1\}.
(b) (ii) Interseções: com o eixo x em (-3,0) e (3,0). Com o eixo y: \left(0,\tfrac{9}{4}\right).
(b) (iii) Assíntotas verticais: x=-2 e x=2. Assíntota horizontal: y=1.
(b) (iv) Esboço: ramos com assíntotas verticais em \pm2, assíntota horizontal y=1, zeros em \pm3, y-intercept (0,\tfrac{9}{4}), comportamento lateral conforme discutido.
(c) (i) Domínio: \mathbb{R}\setminus\{-5,5\}. Imagem: \mathbb{R}\setminus\{1\}.
(c) (ii) Interseções: com o eixo x em (-4,0) e (4,0). Com o eixo y: \left(0,\tfrac{16}{25}\right).
(c) (iii) Assíntotas verticais: x=-5 e x=5. Assíntota horizontal: y=1.
(c) (iv) Esboço: ramos com assíntotas verticais em \pm5, assíntota horizontal y=1, zeros em \pm4, y-intercept (0,\tfrac{16}{25}).
(d) (i) Domínio: \mathbb{R}\setminus\{-4,4\}. Imagem: \mathbb{R}\setminus\{\tfrac{1}{2}\}.
(d) (ii) Interseções: com o eixo x em (-3,0) e (3,0). Com o eixo y: \left(0,\tfrac{9}{32}\right).
(d) (iii) Assíntotas verticais: x=-4 e x=4. Assíntota horizontal: y=\tfrac{1}{2}.
(d) (iv) Esboço: ramos com assíntotas verticais em \pm4, assíntota horizontal y=\tfrac{1}{2}, zeros em \pm3, y-intercept (0,\tfrac{9}{32}).

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