Q.5: Calcule as ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS e ASSÍNTOTAS VERTICAIS das funções abaixo, se existirem. Caso não existam, justifique sua resposta.
f(x)=raizx^2+x+1x

Passo 1

O enunciado pede as assíntotas verticais e horizontais de
f(x)=raizx^2+x+1x
Para achar assíntota vertical, investigamos limites em pontos onde a função não está definida (aqui x=0). Para achar assíntota horizontal, calculamos limites de f(x) quando xto+infty e xto-infty.

Passo 2

Primeiro identificamos o domínio de f: o radicando x^2+x+1 é sempre positivo, mas o denominador não pode ser zero. Logo o domínio é
xinRmid xneq0
O único candidato a assíntota vertical é x=0.

Passo 3

Calculamos os limites laterais em x=0. Para xto0^+, o numerador tende a raiz0^2+0+1=1 e o denominador a 0^+, logo
limxto0^+f(x)=limxto0^+raizx^2+x+1x=+infty
Para xto0^-, o numerador tende a 1 e o denominador a 0^-, dando
limxto0^-f(x)=10^-=-infty
Como a função diverge para pminfty em x=0, existe assíntota vertical
x=0

Passo 4

Agora analisamos xto+infty. Note que
raizx^2+x+1=xraiz1+1x+1x^2,
pois x>0. Assim
f(x)=xraiz1+tfrac1x+tfrac1x^2x =raiz1+tfrac1x+tfrac1x^2,xrightarrow[xto+infty],1
Portanto há assíntota horizontal para xto+infty:
y=1

Passo 5

Para xto-infty, temos raizx^2+x+1=-xraiz1+tfrac1x+tfrac1x^2 (pois -x>0). Então
f(x)=-xraiz1+tfrac1x+tfrac1x^2x =-raiz1+tfrac1x+tfrac1x^2,xrightarrow[xto-infty],-1
Logo há assíntota horizontal para xto-infty:
y=-1

Resposta

Assíntota vertical: x=0.
Assíntotas horizontais: y=1 e y=-1.

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