Nos problemas abaixo, resolva os PVI’s dados.
(x+1) d yd x+y=ln (x), y(1)=10

Passo 1

O enunciado dá o PVI
(x+1),dydx + y = ln(x), y(1)=10
Este é um EDO linear de primeira ordem. Para resolver, vamos colocá-lo na forma padrão
dydx + P(x),y = Q(x),
usar o método do fator integrante e depois impor a condição inicial.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por x+1, obtemos a forma padrão
dydx + 1x+1,y = ln(x)x+1

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x) = exp!gl(integral 1x+1,dxgr) = exp!l(ln(x+1)r) = x+1

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por mu(x)=x+1, o lado esquerdo vira derivada do produto (x+1)y:
ddxl((x+1)yr) = ln(x)
Agora integramos ambos os lados em x:
(x+1),y = integral ln(x),dx + C
Sabemos que
integral ln(x),dx = xln(x) - x,
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(x+1),y = xln(x) - x + C

Passo 5

Impondo a condição inicial y(1)=10, substituímos x=1 e y=10:
(1+1)cdot 10 = 1cdotln(1) - 1 + C Longrightarrow 20 = 0 - 1 + C Longrightarrow C = 21

Resposta

boxedy(x) = xln(x) - x + 21,x+1,

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