Calcule as assíntotas verticais e horizontais, caso existam, justificando.
f(x)=sen(x)x cdot(x^2-x^24)

Passo 1

A questão pede as assíntotas verticais e horizontais da função
f(x)=sin(x)x,l(x^2-tfracx^24r)
Conteúdo: definição de assíntota vertical (limite em ponto finito tende a ±∞) e assíntota horizontal (limite em ±∞ tende a constante). Vamos usar cálculo de limites.

Passo 2

Primeiro, simplificamos o denominador:
xl(x^2-tfracx^24r)=xcdottfrac3x^24=tfrac3x^34
Logo
f(x)=sin(x)tfrac3x^34=4sin(x)3x^3
Essa forma facilita o estudo dos limites.

Passo 3

Para achar assíntota vertical, buscamos onde o denominador se anula em ponto finito. Aqui só temos x=0. Embora sin(0)=0, o comportamento assintótico é:
limxto04sin(x)3x^3simlimxto04x3x^3=limxto043x^2=+infty
Como o limite diverge para +∞ de ambos os lados, existe assíntota vertical em x=0.

Passo 4

Para a assíntota horizontal, analisamos
limxtopminfty4sin(x)3x^3
Como sin(x) é limitado em [-1,1] e o denominador cresce em módulo como |x|^3toinfty, o quociente tende a 0. Assim, há assíntota horizontal em y=0.

Resposta

Assíntota vertical: x=0; Assíntota horizontal: y=0

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