Determine o domínio da função:
f(x)=raizx^2-1-x^3+5 x^2-6 x

Passo 1

Temos a função f(x)=raizx^2-1-x^3+5x^2-6x. Para definir o domínio, precisamos que o que está dentro da raiz seja não negativo e que o denominador seja diferente de zero. Esse é o conteúdo de domínio de funções envolvendo radicais e frações.

Passo 2

Impondo as condições: o radicando x^2-1-x^3+5x^2-6x deve satisfazer x^2-1-x^3+5x^2-6x>=0 e o denominador -x^3+5x^2-6xneq0.

Passo 3

Vamos fatorar numerador e denominador para encontrar pontos críticos. O numerador é
x^2-1 = (x-1)(x+1)
e o denominador é
-x^3+5x^2-6x = -x(x-2)(x-3)
Desse modo, os zeros da expressão estão em x=-1,1,0,2,3.

Passo 4

Para resolver a inequação (x-1)(x+1)-x(x-2)(x-3)>=0, fazemos um estudo de sinais nos intervalos determinados pelos pontos críticos. Analisando o sinal de cada fator em cada intervalo, chegamos a:
  • em (-1,0): quociente positivo
  • em (0,1): quociente negativo
  • em (1,2): quociente positivo
  • em (2,3): quociente negativo
  • em (3,infty): quociente positivo
  • em x=-1: quociente negativo
E em x=1 e 0,2,3 o numerador zera (radicando =0), mas o denominador não zera, então são permitidos. Nos pontos o denominador zera, então excluímos.

Passo 5

Portanto, os x que satisfazem x^2-1-x^3+5x^2-6x>=0 sem violar a condição de denominador são
(-infty,-1]cup(0,1]cup(2,3)
Esse é o domínio de f.

Resposta

O domínio é .

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