Questão 1 (2 pontos) Encontre a derivada f^prime(1) utilizando a definição.
(Se resolver por regras de derivação, esta questão será anulada!)
f(x)=x-33 x+1

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função $ f(x) = \frac{x - 3}{3x + 1} $ e precisamos encontrar a derivada dessa função no ponto $ x = 1 $ usando a definição de derivada. Para isso, vamos precisar usar o conceito de limite e a fórmula da derivada definida como:
f(x) = x - 33x + 1

Passo 2

Primeiro, vamos identificar $ a $. Nesse caso, $ a = 1 $. Então, precisamos calcular $ f(1) $ e $ f(1 + h) $.
Vamos calcular $ f(1) $:
a

Passo 3

Agora, vamos calcular $ f(1 + h) $:
f(1 + h)

Passo 4

Em seguida, vamos montar a expressão para a derivada usando a definição:
f'(1) = limh to 0 f(1 + h) - f(1)h = limh to 0 h - 23h + 4 - (-12)h

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro do limite:
h - 23h + 4 + 12h = (h - 2) cdot 2 + (3h + 4)2(3h + 4) cdot 1h = 2h - 4 + 3h + 42(3h + 4) cdot 1h = 5h2(3h + 4) cdot 1h

Passo 6

Simplificando ainda mais:
5h2(3h + 4) cdot 1h = 52(3h + 4)

Passo 7

Agora, aplicamos o limite quando $ h $ tende a 0:
h

Resposta

A derivada de $ f $ no ponto $ x = 1 $ é $ f’(1) = \frac{5}{8} $.

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