Calcule as assíntotas verticais e horizontais sem usar o método de Bernoulli-lHôpital, caso existam. Se não existir, justifique
f(x)=3 x^2+3 xx^2+2 x+1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função $ f(x) = \frac{3x^{2} + 3x}{x^{2} + 2x + 1} $ e precisamos encontrar as assíntotas verticais e horizontais sem usar o método de Bernoulli-L’Hôpital. Para isso, vamos usar conceitos de limites e análise de funções racionais.

Passo 2

Vamos começar encontrando as assíntotas horizontais. Essas assíntotas aparecem quando $ x $ tende ao infinito ou menos infinito. Para funções racionais, a assíntota horizontal depende dos graus do polinômio no numerador e no denominador.
Aqui, o grau do numerador é 2 e o grau do denominador também é 2. Quando os graus são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes líderes. No nosso caso, o coeficiente líder do numerador é 3 e do denominador é 1.
Então, a assíntota horizontal é:
x

Passo 3

Agora, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas assíntotas ocorrem onde o denominador é zero, desde que o numerador não seja zero no mesmo ponto (pois isso indicaria um ponto de descontinuidade removível, ou seja, um “furo” na função).
Primeiro, igualamos o denominador a zero:
x^2 + 2x + 1 = 0
Podemos fatorar esse polinômio:
(x + 1)^2 = 0 implies x = -1
Agora, verificamos o numerador no ponto $ x = -1 $:
x = -1
Como tanto o numerador quanto o denominador são zero em $ x = -1 $, não existe uma assíntota vertical nesse ponto. Em vez disso, há um ponto de descontinuidade removível, ou seja, um “furo”.

Resposta

A função $ f(x) = \frac{3x^{2} + 3x}{x^{2} + 2x + 1} $ possui uma assíntota horizontal em $ y = 3 $ e não possui assíntotas verticais.

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