Calcule as assíntotas verticais e horizontais sem usar o método de Bernoulli-lHôpital, caso existam. Se não existir, justifique
Passo 1
O enunciado pede para calcular as assíntotas verticais e horizontais da função sem usar regra de L’Hôpital. O conteúdo é análise de assíntotas de funções racionais, e vamos precisar fatorar polinômios e usar limites simples por divisão de grau.
Passo 2
Primeiro fatoramos numerador e denominador. O numerador é x²–x, que fatoramos como
. O denominador é x²+2x+1, que é um quadrado perfeito:
. Assim
Passo 3
Para achar assíntotas verticais, identificamos onde o denominador zera sem ser cancelado pelo numerador. Temos zero duplo em x=–1 e o numerador em x=–1 vale
, não zero. Logo não há buraco, mas sim assíntota vertical em x=–1.
Passo 4
Para achar assíntota horizontal, comparamos os graus: tanto numerador quanto denominador são de grau 2. Usamos divisão por x² sem L’Hôpital:
Passo 5
Ao deixar x → +∞ ou x → –∞, os termos
,
e
tendem a zero, ficando
Passo 6
Portanto a assíntota horizontal é y=1.
Resposta
Assíntota vertical:
. Assíntota horizontal:
.