Calcule as assíntotas verticais e horizontais sem usar o método de Bernoulli-lHôpital, caso existam. Se não existir, justifique
f(x)=x^2-xx^2+2 x+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular as assíntotas verticais e horizontais da função sem usar regra de L’Hôpital. O conteúdo é análise de assíntotas de funções racionais, e vamos precisar fatorar polinômios e usar limites simples por divisão de grau.

Passo 2

Primeiro fatoramos numerador e denominador. O numerador é x²–x, que fatoramos como x(x1). O denominador é x²+2x+1, que é um quadrado perfeito: (x+1)²². Assim
f(x)=x(x-1)(x+1)^2

Passo 3

Para achar assíntotas verticais, identificamos onde o denominador zera sem ser cancelado pelo numerador. Temos zero duplo em x=–1 e o numerador em x=–1 vale (1)(2)=2, não zero. Logo não há buraco, mas sim assíntota vertical em x=–1.

Passo 4

Para achar assíntota horizontal, comparamos os graus: tanto numerador quanto denominador são de grau 2. Usamos divisão por x² sem L’Hôpital:
f(x)=x^2 - xx^2 + 2x + 1 = 1 - 1x1 + 2x + 1x^2

Passo 5

Ao deixar x → +∞ ou x → –∞, os termos 1/x, 2/x e 1/x^2 tendem a zero, ficando
limxtopminftyf(x)=1-01+0+0=1

Passo 6

Portanto a assíntota horizontal é y=1.

Resposta

Assíntota vertical: x=-1. Assíntota horizontal: y=1.

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