Calcule o limite sem usar o método de Bernoulli-lHôpital. Se não existir, justifique.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Estamos trabalhando com limites e funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função seno se comporta quando
fica muito grande e como isso interfere no limite.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função
sempre oscila entre -1 e 1, ou seja,
. Isso quer dizer que, multiplicando por 2, temos
.
Passo 3
Agora, vamos dividir toda a desigualdade por
. Como
é positivo e está indo para o infinito, a direção das desigualdades permanece a mesma:
Passo 4
Vamos analisar o que acontece com
e
quando
tende ao infinito. Sabemos que, conforme
cresce,
e
vão se aproximando de 0. Isso porque o denominador está ficando muito grande, fazendo a fração diminuir cada vez mais.
Passo 5
Aplicando o Teorema do Sandwich (ou Teorema das Cordas), já que
está sempre “entre”
e
, e ambos os limites dessas extremidades são 0, então o limite da nossa função também é 0.
Resposta
O limite é igual a 0.