Calcule o limite sem usar o método de Bernoulli-lHôpital. Se não existir, justifique.
lim x infty 2 cdot sen(x)x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite lim x infty 2 cdot sin(x)x. Estamos trabalhando com limites e funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função seno se comporta quando x fica muito grande e como isso interfere no limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função sin(x) sempre oscila entre -1 e 1, ou seja, -1 <= sin(x) <= 1. Isso quer dizer que, multiplicando por 2, temos -2 <= 2 cdot sin(x) <= 2.

Passo 3

Agora, vamos dividir toda a desigualdade por x. Como x é positivo e está indo para o infinito, a direção das desigualdades permanece a mesma:
-2x <= 2 cdot sin(x)x <= 2x

Passo 4

Vamos analisar o que acontece com -2x e 2x quando x tende ao infinito. Sabemos que, conforme x cresce, 2x e -2x vão se aproximando de 0. Isso porque o denominador está ficando muito grande, fazendo a fração diminuir cada vez mais.

Passo 5

Aplicando o Teorema do Sandwich (ou Teorema das Cordas), já que 2 cdot sin(x)x está sempre “entre” -2x e 2x, e ambos os limites dessas extremidades são 0, então o limite da nossa função também é 0.

Resposta

O limite é igual a 0.

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