Calcule através de mudança de variáveis.
integral0^a[integral0^raiza^2-x^2 raiza^2-x^2-y^2 d y] d x (a>0)

Passo 1

O enunciado pede o valor de
I=integral0^al[integral0^raiza^2-x^2raiza^2-x^2-y^2;dyr]dx
para a>0.
O conteúdo é cálculo de integral dupla sobre a região
(x,y)mid x>=0,;y>=0,;x^2+y^2<= a^2,
e vamos usar mudança para coordenadas polares.

Passo 2

Fazemos a mudança
x = rcostheta, y = rsintheta, rin[0,a],;thetainl[0,tfracpi2r]
O elemento de área é dx,dy = r,dr,dtheta e a integranda fica
raiza^2-x^2-y^2 = raiza^2-r^2.
Logo
I = integral0^pi/2!integral0^a raiza^2-r^2;r,dr,dtheta

Passo 3

Calculemos a integral em r por substituição u=a^2-r^2,
du=-2r,dr:
integral0^arraiza^2-r^2,dr =12integrala^2^0raizu,(-du) =12integral0^a^2u^1/2du =12cdot23u^3/2|0^a^2 =13a^3

Passo 4

Substituindo de volta em I:
I = integral0^pi/213a^3,dtheta =13a^3cdotpi2 =pi a^36

Resposta

pi a^36

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