Calcule através de mudança de variáveis.
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
. O truque é reconhecer que isso é uma integral dupla sobre a região
e usar coordenadas polares para simplificar
.
Passo 2
Escrevendo como integral dupla, temos
A região
no primeiro quadrante é o triângulo com vértices
,
e
, mas mais precisamente
Passo 3
Fazendo a mudança para coordenadas polares
temos
e o elemento de área
. A região
em
fica
Logo
Passo 4
Integramos em
:
Assim
Passo 5
Usamos a primitiva conhecida
Logo
Em
temos
,
; em
ambos valem 0 ou 1 dentro do logaritmo. Portanto
Substituindo em
: