Calcule através de mudança de variáveis.
integral0^a[integral0^x raizx^2+y^2 d y] d x (a>0).

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral0^agl[integral0^xraizx^2+y^2;dygr]dx,
onde a>0. O truque é reconhecer que isso é uma integral dupla sobre a região
D=(x,y)mid 0<= y<= x<= a
e usar coordenadas polares para simplificar raizx^2+y^2.

Passo 2

Escrevendo como integral dupla, temos
I=integral duplaDraizx^2+y^2;dA
A região D no primeiro quadrante é o triângulo com vértices (0,0), (a,0) e (a,a), mas mais precisamente
0<= y<= x, 0<= x<= a

Passo 3

Fazendo a mudança para coordenadas polares
x = rcostheta, y = rsintheta,
temos raizx^2+y^2=r e o elemento de área dA = r,dr,dtheta. A região D em (r,theta) fica
0<= theta<= tfracpi4, 0<= r<= acostheta
Logo
I = integral0^pi/4!integral0^,a/costhetar;l(r,dr,dthetar) = integral0^pi/4!integral0^,a/costhetar^2,dr,dtheta

Passo 4

Integramos em r:
integral0^,a/costhetar^2,dr =13l(acosthetar)^3 =a^33sec^3theta
Assim
I = a^33integral0^pi/4sec^3theta,dtheta

Passo 5

Usamos a primitiva conhecida
integralsec^3theta,dtheta =12l(secthetatantheta+lnlvertsectheta+tanthetarvertr)+C
Logo
integral0^pi/4sec^3theta,dtheta =12l[secthetatantheta+ln(sectheta+tantheta)r]0^pi/4
Em theta=pi/4 temos sectheta=raiz2, tantheta=1; em theta=0 ambos valem 0 ou 1 dentro do logaritmo. Portanto
integral0^pi/4sec^3theta,dtheta =12l(raiz2+ln(raiz2+1)r)
Substituindo em I:
I = a^33cdot12l(raiz2+ln(raiz2+1)r) =a^36l(raiz2+ln(raiz2+1)r)

Resposta

boxeda^36l(raiz2+ln(raiz2+1)r)

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