Determine a derivada de f, utilizando a “regra da cadeia”, se:
f(t)=ln (arctg(5 t+1))

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(t)=lnl(arctg(5t+1)r).
O conteúdo principal é a regra da cadeia, aplicada primeiro em ln(u) e depois em arctg(v).

Passo 2

Definimos
u(t)=arctg(5t+1),
de modo que f(t)=lnl(u(t)r).
Pela regra da cadeia para o logaritmo:
f'(t)=u'(t)u(t)

Passo 3

Agora derivamos
u(t)=arctg(5t+1)
Seja v(t)=5t+1, então arctg(v) tem derivada
ddvarctg(v)=11+v^2
Como v'(t)=5, pela cadeia vem
u'(t)=11+(5t+1)^2cdot 5 =51+(5t+1)^2

Passo 4

Substituindo u'(t) e u(t) em f'(t)=tfracu'(t)u(t), obtemos
f'(t) = 51+(5t+1)^2 arctg(5t+1) =5arctg(5t+1),l(1+(5t+1)^2r)

Resposta

f'(t)=5arctg(5t+1),l(1+(5t+1)^2r)

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