Determine a derivada de f, utilizando a “regra da cadeia”, se:
f(w)=3^sen(a w)cos (b w)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(w)=3^sen(a w)cos(b w)
usando a regra da cadeia para funções do tipo a^u(w).
Vamos precisar da fórmula
ddwl(a^u(w)r)=a^u(w)ln(a),u'(w)
e da derivada de um quociente.

Passo 2

Definimos a função interna
g(w)=sen(a w)cos(b w)
de modo que
f(w)=3^g(w)
Pela regra da cadeia, temos
f'(w) =3^g(w)ln(3);g'(w)

Passo 3

Para achar g'(w) usamos a regra do quociente. Seja
u(w)=sen(a w), v(w)=cos(b w),
então
u'(w)=acos(a w), v'(w)=-bsen(b w)
A fórmula do quociente é
g'(w) =u'(w),v(w)-u(w),v'(w)v(w)^2

Passo 4

Substituindo u, u', v e v' na fórmula, obtemos
g'(w) =acos(a w)cos(b w)-sen(a w)l(-bsen(b w)r)cos^2(b w) =acos(a w)cos(b w)+bsen(a w)sen(b w)cos^2(b w)

Passo 5

Agora voltamos à derivada de f:
f'(w) =3^g(w)ln(3);g'(w) =3^sen(a w)cos(b w)ln(3) cdotacos(a w)cos(b w)+bsen(a w)sen(b w)cos^2(b w)

Resposta

f'(w) =3^sen(a w)cos(b w)ln(3) ;acos(a w)cos(b w)+bsen(a w)sen(b w)cos^2(b w)

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