Calcule através de mudança de variáveis.
Calcule:
(a) \iint_{D} e^{x^{2}+y^{2}} d x d y onde D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 4,-x \leq y \leq x, x \geq 0\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} e^{x^{2}+y^{2}}\,dx\,dy
onde
D=\bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^2;\;1\le x^2+y^2\le4,\;-x\le y\le x,\;x\ge0\bigr\}.
O conteúdo principal é usar coordenadas polares para simplificar a forma x^{2}+y^{2}=r^{2} e aproveitar o jacobiano.

Passo 2

Fazemos a mudança de variáveis
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
cujo jacobiano é
dx\,dy = r\,dr\,d\theta.

Passo 3

Convertendo as condições de D para polares:
  1. 1\le x^2+y^2\le4 vira \;1\le r^2\le4, logo 1\le r\le2.
  2. x\ge0 implica \cos\theta\ge0, ou seja -\tfrac{\pi}{2}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}.
  3. -x\le y\le x equivale a -\cos\theta\le\sin\theta\le\cos\theta, o que dá -\tfrac{\pi}{4}\le\theta\le\tfrac{\pi}{4}.
    Juntando, fica
1\le r\le2,\qquad -\tfrac{\pi}{4}\le\theta\le\tfrac{\pi}{4}.

Passo 4

Substituindo na integral, obtemos
\iint_{D} e^{x^{2}+y^{2}}\,dx\,dy =\int_{\theta=-\pi/4}^{\pi/4}\int_{r=1}^{2} e^{r^{2}}\;r\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calculamos a integral em r por substituição u=r^{2}, du=2r\,dr:
\int_{r=1}^{2} e^{r^{2}}\,r\,dr =\tfrac12\int_{u=1}^{4} e^{u}\,du =\tfrac12\bigl[e^{u}\bigr]_{1}^{4} =\tfrac12\bigl(e^{4}-e\bigr).

Passo 6

Agora integramos em \theta, cujo comprimento é \pi/4-(-\pi/4)=\pi/2:
\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\tfrac12\bigl(e^{4}-e\bigr)\,d\theta =\tfrac12\bigl(e^{4}-e\bigr)\cdot\tfrac{\pi}{2} =\tfrac{\pi}{4}\bigl(e^{4}-e\bigr).

Resposta

\boxed{\frac{\pi}{4}\,\bigl(e^{4}-e\bigr)}.

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