Resolver as equações abaixo, usando uma conveniente mudança de coordenadas:
(a)
(1+3 x \operatorname{sen} y) d x-x^{2} \cos y d y=0 \quad( sugestão \operatorname{sen} y=w)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
(1+3x\operatorname{sen} y)\,dx \;-\; x^{2}\cos y\,dy \;=\;0
usando a mudança de coordenadas sugerida \operatorname{sen} y = w. Vamos tratar de transformar tudo em variáveis x e w para obter uma equação em forma padrão.

Passo 2

Definimos a substituição
w = \operatorname{sen} y,
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dw = \cos y\,dy.
Com isso, \cos y\,dy em termos de dw fica simplesmente dw.

Passo 3

Substituindo na equação original temos
(1+3x\,w)\,dx \;-\; x^{2}\,dw \;=\;0.
Ou seja,
x^{2}\,dw = (1+3x\,w)\,dx \qquad\Longrightarrow\qquad \frac{dw}{dx} = \frac{1+3x\,w}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{x}\,w.

Passo 4

Reconhecemos uma equação linear na forma
\frac{dw}{dx} - \frac{3}{x}\,w = \frac{1}{x^{2}}.
O fator integrante é
\mu(x) = \exp\Bigl(-\!\!\int \frac{3}{x}\,dx\Bigr) = \exp(-3\ln x) = x^{-3}.

Passo 5

Multiplicando tudo por x^{-3}, a equação vira
x^{-3}\frac{dw}{dx} - 3x^{-4}w = x^{-5},
que é equivalente a
\frac{d}{dx}\bigl(x^{-3}w\bigr) = x^{-5}.
Integrando ambos os lados em relação a x:
x^{-3}w = \int x^{-5}\,dx = -\frac{1}{4x^{4}} + C,
portanto
w = x^{3}\Bigl(-\frac{1}{4x^{4}} + C\Bigr) = -\frac{1}{4x} + C\,x^{3}.

Passo 6

Voltando à variável original y com w=\operatorname{sen} y, obtemos a solução implícita
\operatorname{sen} y = C\,x^{3} \;-\; \frac{1}{4x}.

Resposta

\boxed{\operatorname{sen} y = C\,x^{3} - \frac{1}{4x}.}

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