Resolver as equações abaixo, usando uma conveniente mudança de coordenadas:
(a)
(1+3 x \operatorname{sen} y) d x-x^{2} \cos y d y=0 \quad( sugestão \operatorname{sen} y=w)
(a)
(1+3 x \operatorname{sen} y) d x-x^{2} \cos y d y=0 \quad( sugestão \operatorname{sen} y=w)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
usando a mudança de coordenadas sugerida
. Vamos tratar de transformar tudo em variáveis
e
para obter uma equação em forma padrão.
Passo 2
Definimos a substituição
logo
Com isso,
em termos de
fica simplesmente
.
Passo 3
Substituindo na equação original temos
Ou seja,
Passo 4
Reconhecemos uma equação linear na forma
O fator integrante é
Passo 5
Multiplicando tudo por
, a equação vira
que é equivalente a
Integrando ambos os lados em relação a
:
portanto
Passo 6
Voltando à variável original
com
, obtemos a solução implícita