Calcule através de mudança de variáveis.
, onde
é o paralelogramo de vértices
e
Passo 1
Vamos recapitular o que o exercício pede e qual conteúdo usamos: queremos calcular a integral dupla
num paralelogramo. O método indicado é mudança de variáveis em integrais duplas, então vamos definir coordenadas
que simplifiquem o integrando e também mapear o domínio.
Passo 2
Definimos a transformação que deixa o integrando simples:
Nesse caso o integrando
vira
.
Passo 3
Precisamos do Jacobiano da transformação inversa
. Invertendo:
Calculando
logo
.
Passo 4
Agora mapeamos os vértices de
no plano
para
:
(0,0)→(0,0),
(π/3,π/3)→(0,π),
(2π/3,-π/3)→(π,π),
(π/3,-2π/3)→(π,0).
Isso dá um retângulo .
(0,0)→(0,0),
(π/3,π/3)→(0,π),
(2π/3,-π/3)→(π,π),
(π/3,-2π/3)→(π,0).
Isso dá um retângulo
Passo 5
Reescrevendo a integral em
e separando variáveis:
Calculamos
logo o produto é zero.
Resposta
0