Calcule através de mudança de variáveis.
integral duplaD(2 x+y) cos (x-y) d x d y, onde B é o paralelogramo de vértices (0,0),(pi3, pi3),(2 pi3,-pi3) e (pi3,-2 pi3) (Resp: 0)

Passo 1

Vamos recapitular o que o exercício pede e qual conteúdo usamos: queremos calcular a integral dupla integral duplaD(2x+y)cos(x-y),dx,dy num paralelogramo. O método indicado é mudança de variáveis em integrais duplas, então vamos definir coordenadas (u,v) que simplifiquem o integrando e também mapear o domínio.

Passo 2

Definimos a transformação que deixa o integrando simples:
u = x - y, v = 2x + y
Nesse caso o integrando (2x+y)cos(x-y) vira vcos(u).

Passo 3

Precisamos do Jacobiano da transformação inversa (u,v)to(x,y). Invertendo:
x = v+u3, y = v-2u3
Calculando
J = detxu & xv yu & yv = 13,
logo dx,dy = tfrac13,du,dv.

Passo 4

Agora mapeamos os vértices de D no plano (x,y) para (u,v):
(0,0)→(0,0),
(π/3,π/3)→(0,π),
(2π/3,-π/3)→(π,π),
(π/3,-2π/3)→(π,0).
Isso dá um retângulo D'=[0,π]times[0,π].

Passo 5

Reescrevendo a integral em (u,v) e separando variáveis:
integral duplaD(2x+y)cos(x-y),dx,dy = integral duplaD' vcos(u)cdot13,du,dv = 13l(integral0^πcos(u),dur)l(integral0^π v,dvr)
Calculamos
integral0^π v,dv = π^22, integral0^πcos(u),du = 0,
logo o produto é zero.

Resposta

0

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