Questão 4 - Uma bola maciça é liberada do repouso e desliza para baixo pela encosta de uma colina com inclinação de 65^circ com o plano horizontal. Qual o valor mínimo do coeficiente de atrito estático entre a superfície da colina e a bola maciça para que não haja nenhum deslizamento? Dado: IC M=25 M R^2 (2 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma bola que está parada e vai começar a rolar por uma colina inclinada a 65^circ. A ideia aqui é descobrir qual é o menor valor do coeficiente de atrito estático necessário entre a bola e a colina para que a bola não deslize. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Física sobre forças, torque e momento de inércia.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar as forças que atuam na bola. Tem a força da gravidade puxando a bola para baixo, a força normal perpendicular à superfície da colina, e a força de atrito que impede a bola de deslizar. Queremos que a bola role sem deslizar, então a força de atrito vai ser responsável por gerar o torque que faz a bola girar.

Passo 3

Vamos decompor a força da gravidade em duas componentes: uma paralela à inclinação e outra perpendicular. A componente paralela é M g sintheta e a perpendicular é M g costheta, onde M é a massa da bola, g é a aceleração da gravidade e theta é o ângulo da inclinação, que aqui é 65^circ.

Passo 4

A força de atrito estático fat precisa ser suficiente para causar uma aceleração angular que permita à bola rolar sem deslizar. A condição para rolar sem deslizar é a = alpha R, onde a é a aceleração linear, alpha é a aceleração angular e R é o raio da bola.

Passo 5

Aplicando as leis de Newton, temos que a força resultante na direção da inclinação é M g sintheta - fat = M a. Além disso, aplicando a segunda lei de Newton para rotação, fat R = I alpha. Como a = alpha R, substituímos e temos fat R = I aR, ou seja, fat = I aR^2.

Passo 6

Substituindo fat na equação de forças, fica M g sintheta - I aR^2 = M a. Vamos reorganizar para resolver para a:
M g sintheta = M a + I aR^2
M g sintheta = a ( M + IR^2 )
a = M g sinthetaM + IR^2

Passo 7

Sabemos que ICM = 25 M R^2. Substituindo na expressão de a:
a = M g sin65^circM + 25 M R^2R^2 = M g sin65^circM + 25 M = g sin65^circ1 + 25 = g sin65^circ75 = 5 g sin65^circ7

Passo 8

Agora, voltando à força de atrito: fat = I aR^2 = 25 M R^2 cdot 5 g sin65^circ7R^2 = 2 M g sin65^circ7

Passo 9

Para que a bola não deslize, a força de atrito deve ser igual ou maior que a força necessária para evitar o deslizamento. A força de atrito máxima é fmax = mu M g costheta. Então, temos:
mu M g cos65^circ >= 2 M g sin65^circ7

Passo 10

Cancelando M g dos dois lados e isolando mu:
mu >= 2 sin65^circ7 cos65^circ = 27 tan65^circ

Resposta

O coeficiente mínimo de atrito estático necessário é mu >= 27 tan65^circ approx 0,605.

Exercícios relacionados