Questão 4 - Uma bola maciça é liberada do repouso e desliza para baixo pela encosta de uma colina com inclinação de
com o plano horizontal. Qual o valor mínimo do coeficiente de atrito estático entre a superfície da colina e a bola maciça para que não haja nenhum deslizamento? Dado:
(2 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma bola que está parada e vai começar a rolar por uma colina inclinada a
. A ideia aqui é descobrir qual é o menor valor do coeficiente de atrito estático necessário entre a bola e a colina para que a bola não deslize. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Física sobre forças, torque e momento de inércia.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar as forças que atuam na bola. Tem a força da gravidade puxando a bola para baixo, a força normal perpendicular à superfície da colina, e a força de atrito que impede a bola de deslizar. Queremos que a bola role sem deslizar, então a força de atrito vai ser responsável por gerar o torque que faz a bola girar.
Passo 3
Vamos decompor a força da gravidade em duas componentes: uma paralela à inclinação e outra perpendicular. A componente paralela é
e a perpendicular é
, onde
é a massa da bola,
é a aceleração da gravidade e
é o ângulo da inclinação, que aqui é
.
Passo 4
A força de atrito estático
precisa ser suficiente para causar uma aceleração angular que permita à bola rolar sem deslizar. A condição para rolar sem deslizar é
, onde
é a aceleração linear,
é a aceleração angular e
é o raio da bola.
Passo 5
Aplicando as leis de Newton, temos que a força resultante na direção da inclinação é
. Além disso, aplicando a segunda lei de Newton para rotação,
. Como
, substituímos e temos
, ou seja,
.
Passo 6
Substituindo
na equação de forças, fica
. Vamos reorganizar para resolver para
:
Passo 7
Sabemos que
. Substituindo na expressão de
:
Passo 8
Agora, voltando à força de atrito:
Passo 9
Para que a bola não deslize, a força de atrito deve ser igual ou maior que a força necessária para evitar o deslizamento. A força de atrito máxima é
. Então, temos:
Passo 10
Cancelando
dos dois lados e isolando
:
Resposta
O coeficiente mínimo de atrito estático necessário é
.