(a) Calcule as autoenergias e autofunções (parte espacial da função de onda) para uma partícula de massa “m” ( e^{-}, elétron) confinada num poço de potencial quadrado infinito de largura “a”, centrado em x=a / 2. Esboce os estados. (b) Calcule a função de onda total para a partícula, lembre que esta é diferente da autofunção. (c) Para o estado fundamental, calcule os valores esperados de x, p_{x}, x^{2} e p_{x}^{2}. (d) Calcule as incertezas de x e p_{x}. (e) Porque não existe o estado para \mathrm{n}=0 ?

Passo 1

Resumo do que o enunciado pede e dados fornecidos:
  • Temos uma partícula de massa m (um elétron, mas usaremos m simbólico) confinada num poço infinito de largura a com centro em x=a/2. Isso é equivalente ao poço com paredes em x=0 e x=a.
  • Perguntas:
    (a) Calcular autoenergias e autofunções (parte espacial) — e esboçar os estados.
    (b) Calcular a função de onda total (incluir dependência temporal) e explicar por que é diferente da autofunção espacial.
    (c) No estado fundamental, calcular \langle x\rangle, \langle p_x\rangle, \langle x^2\rangle, \langle p_x^2\rangle.
    (d) Calcular as incertezas \Delta x e \Delta p_x.
    (e) Explicar por que não existe o estado com n=0.
  • Condições importantes: potencial V(x)=0 para 0<x<a e V(x)=\infty fora desse intervalo, portanto \psi(0)=\psi(a)=0.

Passo 2

Equação de Schrödinger estacionária dentro do poço e solução geral:
  • Dentro do poço ( 0<x<a) a equação de Schrödinger independente do tempo é
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}\psi(x)}{dx^{2}} = E\,\psi(x).
  • Escrevemos k por
k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar},
então a solução geral é
\psi(x)=A\sin(kx)+B\cos(kx).
  • Impomos as condições de contorno: \psi(0)=0 B=0. A condição \psi(a)=0
\sin(ka)=0 \quad\Rightarrow\quad ka = n\pi,\quad n\in\mathbb{Z}.
  • Para obter estados não-triviais (não nulos) usamos n=1,2,3,\dots. Assim
k_n=\frac{n\pi}{a}.
  • As energias próprias (autoenergias) são
E_n=\frac{\hbar^{2}k_n^{2}}{2m}=\frac{n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}{2m a^{2}},\qquad n=1,2,\dots
  • As autofunções espaciais (normalizadas) são, tomando A=\sqrt{2/a},
\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right),\qquad 0<x<a.
  • Observação sobre esboço dos estados: cada \psi_n(x) tem n-1 nós interiores (zeros) e é nula nas paredes x=0 e x=a. O modo n=1 é uma meia-seno (sem nós internos), n=2 tem um nó interior, etc. A energia cresce como n^{2}.

Passo 3

Função de onda total (dependência temporal) e diferença entre autofunção espacial e função de onda total:
  • Para autestados de energia a dependência temporal é simplesmente um fator de fase:
\Psi_n(x,t)=\psi_n(x)\,e^{-iE_n t/\hbar}=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right)\,e^{-i\frac{n^{2}\pi^{2}\hbar}{2m a^{2}}t}.
  • Observação didática: \psi_n(x) é a “parte espacial” (autofunção); \Psi_n(x,t) é a solução completa da equação de Schrödinger dependente do tempo. A parte temporal e^{-iE_n t/\hbar} não altera as probabilidades |\Psi_n|^{2}=|\psi_n|^{2} para autestados de energia, mas é essencial para interferências em superposições.

Passo 4

Cálculo de \langle x\rangle e \langle p_x\rangle para o estado fundamental n=1 (passo a passo):
  • Estado fundamental espacial:
\psi_{1}(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\!\left(\frac{\pi x}{a}\right).
  • Expectation value de x:
\langle x\rangle = \int_{0}^{a}\psi_{1}^{*}(x)\,x\,\psi_{1}(x)\,dx = \frac{2}{a}\int_{0}^{a} x\sin^{2}\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)dx.
  • Usamos \sin^{2}\theta=\tfrac{1}{2}(1-\cos 2\theta):
\langle x\rangle = \frac{2}{a}\left[\frac{1}{2}\int_{0}^{a} x\,dx - \frac{1}{2}\int_{0}^{a} x\cos\!\left(\frac{2\pi x}{a}\right)dx\right].
  • Primeiro termo: \tfrac{1}{2}\int_{0}^{a} x\,dx = \tfrac{1}{2}\cdot\frac{a^{2}}{2}=\frac{a^{2}}{4}.
  • Segundo termo: com k=\tfrac{2\pi}{a},
\int_{0}^{a} x\cos(kx)\,dx = \left[\frac{x\sin(kx)}{k}\right]_{0}^{a}-\int_{0}^{a}\frac{\sin(kx)}{k}dx,
mas avaliando em kx=k a = 2\pi dá zeros e o resultado é 0. Logo o segundo termo é zero.
  • Portanto
\langle x\rangle = \frac{2}{a}\cdot\frac{a^{2}}{4}=\frac{a}{2}.
  • Expectation value de p_x. Usamos \hat p_x = -i\hbar \frac{d}{dx}:
\langle p_x\rangle = \int_{0}^{a}\psi_{1}^{*}(x)\left(-i\hbar\frac{d}{dx}\right)\psi_{1}(x)\,dx.
\psi_{1}(x)\\ \text{é real e proporcional a}\\ \sin\!\left(\frac{\pi x}{a}\right),é
portanto integrando uma função ímpar efetiva sobre o intervalo resulta em zero; explicitamente a integral dá \langle p_x\rangle=0. (Também se pode ver por simetria: densidade de probabilidade é simétrica em torno de a/2, não há corrente média.)

Passo 5

Cálculo de \langle x^{2}\rangle no estado fundamental (detalhado):
  • Definição:
\langle x^{2}\rangle = \frac{2}{a}\int_{0}^{a} x^{2}\sin^{2}\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)dx.
  • Usando \sin^{2}\theta=\tfrac{1}{2}(1-\cos 2\theta):
\langle x^{2}\rangle = \frac{2}{a}\left[\frac{1}{2}\int_{0}^{a} x^{2}dx - \frac{1}{2}\int_{0}^{a} x^{2}\cos\!\left(\frac{2\pi x}{a}\right)dx\right].
  • Primeiro termo: \tfrac{1}{2}\int_{0}^{a} x^{2}dx = \tfrac{1}{2}\cdot\frac{a^{3}}{3}=\frac{a^{3}}{6}.
  • Segundo termo: calcular I=\int_{0}^{a} x^{2}\cos(kx)\,dx com k=\tfrac{2\pi}{a}.
    Integração por partes: I=\left[\frac{x^{2}\sin(kx)}{k}\right]_{0}^{a}-\frac{2}{k}\int_{0}^{a} x\sin(kx)\,dx.O primeiro termo é zero pois \sin(ka)=\sin(2\pi)=0. Para J=\int_{0}^{a} x\sin(kx)\,dx fazemos outra integração por partes e obtemos J=-\tfrac{a}{k}. Assim I = -\frac{2}{k}\cdot\left(-\frac{a}{k}\right)=\frac{2a}{k^{2}}.Como k=\tfrac{2\pi}{a} temos k^{2}=\tfrac{4\pi^{2}}{a^{2}} e então I=\frac{2a}{k^{2}}=\frac{2a}{4\pi^{2}/a^{2}}=\frac{a^{3}}{2\pi^{2}}.
  • Voltando a \langle x^{2}\rangle:
\langle x^{2}\rangle = \frac{2}{a}\left[\frac{a^{3}}{6}-\frac{1}{2}\cdot\frac{a^{3}}{2\pi^{2}}\right] = \frac{2}{a}\left[\frac{a^{3}}{6}-\frac{a^{3}}{4\pi^{2}}\right] = a^{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2\pi^{2}}\right).
  • Colocando numa forma combinada:
\langle x^{2}\rangle = a^{2}\,\frac{2\pi^{2}-3}{6\pi^{2}}.

Passo 6

Cálculo de \langle p_x^{2}\rangle no estado fundamental:
  • Dentro do poço a energia é puramente cinética, e para autestado vale
\hat H \psi_{n} = E_n \psi_{n},\qquad \hat H=\frac{\hat p_x^{2}}{2m}.
Multiplicando por 2m e tomando expectativa:
\langle p_x^{2}\rangle = 2m E_{1}.
  • Como E_{1}=\dfrac{\pi^{2}\hbar^{2}}{2 m a^{2}} (tomando n=1),
\langle p_x^{2}\rangle = 2m\cdot\frac{\pi^{2}\hbar^{2}}{2 m a^{2}}=\frac{\pi^{2}\hbar^{2}}{a^{2}}.

Passo 7

Cálculo das incertezas \Delta x e \Delta p_x:
  • Definição: \Delta x=\sqrt{\langle x^{2}\rangle-\langle x\rangle^{2}}.
    Já temos \langle x\rangle=\tfrac{a}{2} e \langle x^{2}\rangle=a^{2}\dfrac{2\pi^{2}-3}{6\pi^{2}}. Então
\Delta x = a\sqrt{\frac{2\pi^{2}-3}{6\pi^{2}}-\frac{1}{4}} = a\sqrt{\frac{\pi^{2}-6}{12\pi^{2}}} = a\,\frac{\sqrt{\pi^{2}-6}}{2\sqrt{3}\,\pi}.
  • Para \Delta p_x:
\Delta p_x=\sqrt{\langle p_x^{2}\rangle-\langle p_x\rangle^{2}}=\sqrt{\langle p_x^{2}\rangle} =\sqrt{\frac{\pi^{2}\hbar^{2}}{a^{2}}}=\frac{\pi\hbar}{a},
pois \langle p_x\rangle=0.
  • Produto (verificação rápida da desigualdade de Heisenberg):
\Delta x\,\Delta p_x = \hbar\,\frac{\sqrt{\pi^{2}-6}}{2\sqrt{3}}\approx 0{,}568\,\hbar>\frac{\hbar}{2}.

Passo 8

Por que não existe o estado com n=0:
  • As condições de contorno exigem \sin(ka)=0 com k=\tfrac{n\pi}{a}. Se n=0 então k=0 e a solução geral seria \psi(x)=A\sin(0\cdot x)+B\cos(0\cdot x)=B, mas \psi(0)=\psi(a)=0 forçam B=0. Logo a única solução com n=0 é a função nula \psi\equiv 0, que não pode ser normalizada e não representa um estado físico. Fisicamente, confinamento gera energia cinética mínima diferente de zero (energia de ponto zero), então não existe estado físico com energia E=0.

Resposta

(a) E_n=\dfrac{n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}{2m a^{2}},\quad \psi_n(x)=\sqrt{\dfrac{2}{a}}\sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{a}\right),\; n=1,2,\dots (estados são semínos com n-1 nós internos).\n
(b) \Psi_n(x,t)=\psi_n(x)\,e^{-iE_n t/\hbar}=\sqrt{\dfrac{2}{a}}\sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{a}\right)e^{-i\frac{n^{2}\pi^{2}\hbar}{2m a^{2}}t}.\n
(c) Para n=1: \langle x\rangle=\dfrac{a}{2},\quad \langle p_x\rangle=0,\quad \langle x^{2}\rangle=a^{2}\dfrac{2\pi^{2}-3}{6\pi^{2}},\quad \langle p_x^{2}\rangle=\dfrac{\pi^{2}\hbar^{2}}{a^{2}}.\n
(d) \Delta x = a\sqrt{\dfrac{\pi^{2}-6}{12\pi^{2}}}=a\,\dfrac{\sqrt{\pi^{2}-6}}{2\sqrt{3}\,\pi},\quad \Delta p_x=\dfrac{\pi\hbar}{a}.\n
(e) Não existe n=0 porque leva à solução trivial \psi\equiv0 (não normalizável); fisicamente o confinamento impõe energia mínima não nula.

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