(a) Calcule as autoenergias e autofunções (parte espacial da função de onda) para uma partícula de massa “m” (
, elétron) confinada num poço de potencial quadrado infinito de largura “a”, centrado em
. Esboce os estados. (b) Calcule a função de onda total para a partícula, lembre que esta é diferente da autofunção. (c) Para o estado fundamental, calcule os valores esperados de
,
e
. (d) Calcule as incertezas de
e
. (e) Porque não existe o estado para
?
Passo 1
Resumo do que o enunciado pede e dados fornecidos:
- Temos uma partícula de massa
(um elétron, mas usaremos simbólico) confinada num poço infinito de largura com centro em . Isso é equivalente ao poço com paredes em e . - Perguntas:
(a) Calcular autoenergias e autofunções (parte espacial) — e esboçar os estados.
(b) Calcular a função de onda total (incluir dependência temporal) e explicar por que é diferente da autofunção espacial.
(c) No estado fundamental, calcular, , , .
(d) Calcular as incertezase .
(e) Explicar por que não existe o estado com. - Condições importantes: potencial
para e fora desse intervalo, portanto .
Passo 2
Equação de Schrödinger estacionária dentro do poço e solução geral:
- Dentro do poço (
) a equação de Schrödinger independente do tempo é
- Escrevemos
por
então a solução geral é
- Impomos as condições de contorno:
dá . A condição dá
- Para obter estados não-triviais (não nulos) usamos
. Assim
- As energias próprias (autoenergias) são
- As autofunções espaciais (normalizadas) são, tomando
,
- Observação sobre esboço dos estados: cada
tem nós interiores (zeros) e é nula nas paredes e . O modo é uma meia-seno (sem nós internos), tem um nó interior, etc. A energia cresce como .
Passo 3
Função de onda total (dependência temporal) e diferença entre autofunção espacial e função de onda total:
- Para autestados de energia a dependência temporal é simplesmente um fator de fase:
- Observação didática:
é a “parte espacial” (autofunção); é a solução completa da equação de Schrödinger dependente do tempo. A parte temporal não altera as probabilidades para autestados de energia, mas é essencial para interferências em superposições.
Passo 4
Cálculo de
e
para o estado fundamental
(passo a passo):
- Estado fundamental espacial:
- Expectation value de
:
- Usamos
:
- Primeiro termo:
. - Segundo termo: com
,
mas avaliando em
dá zeros e o resultado é
. Logo o segundo termo é zero.
- Portanto
- Expectation value de
. Usamos :
portanto integrando uma função ímpar efetiva sobre o intervalo resulta em zero; explicitamente a integral dá
. (Também se pode ver por simetria: densidade de probabilidade é simétrica em torno de
, não há corrente média.)
Passo 5
Cálculo de
no estado fundamental (detalhado):
- Definição:
- Usando
:
- Primeiro termo:
. - Segundo termo: calcular
com .
Integração por partes:O primeiro termo é zero pois . Para fazemos outra integração por partes e obtemos . Assim Como temos e então - Voltando a
:
- Colocando numa forma combinada:
Passo 6
Cálculo de
no estado fundamental:
- Dentro do poço a energia é puramente cinética, e para autestado vale
Multiplicando por
e tomando expectativa:
- Como
(tomando ),
Passo 7
Cálculo das incertezas
e
:
- Definição:
.
Já temose . Então
- Para
:
pois
.
- Produto (verificação rápida da desigualdade de Heisenberg):
Passo 8
Por que não existe o estado com
:
- As condições de contorno exigem
com . Se então e a solução geral seria , mas forçam . Logo a única solução com é a função nula , que não pode ser normalizada e não representa um estado físico. Fisicamente, confinamento gera energia cinética mínima diferente de zero (energia de ponto zero), então não existe estado físico com energia .
Resposta
(a)
(estados são semínos com
nós internos).\n
(b) \n
(c) Para :
\n
(d) \n
(e) Não existe porque leva à solução trivial
(não normalizável); fisicamente o confinamento impõe energia mínima não nula.
(b)
(c) Para
(d)
(e) Não existe